Максимум на cos a + cos b + cos c + cosa . cosb . cosc

[admin]

Нека [tex]\alpha+ \beta+ \gamma = 180^\circ[/tex].
Намерете максимума на:
[tex]\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma[/tex]

[ins-]

Скрит текст: покажи

3/2+1/8

[vel.angelov]

Първо ще покажем че
[tex]\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma \le \frac{3}{2 }[/tex]
[tex]\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=1+4sin \frac{}{ } \frac{ \alpha }{2} sin\frac{}{ } \frac{ \beta }{2} sin\frac{}{ } \frac{ \gamma }{2}[/tex]
От друга страна като се има предвид че [tex]sin\frac{}{ } \frac{x}{2 } >0[/tex] за всяко[tex]x\in (0,\pi )[/tex]
може да се приложи неравенство на Коши:
[tex]sin \frac{}{ } \frac{ \alpha }{2} sin\frac{}{ } \frac{ \beta }{2} sin\frac{}{ } \frac{ \gamma }{2} \le \frac{1}{27 }(sin\frac{}{ } \frac{ \alpha }{2} +sin \frac{}{ } \frac{ \beta }{2}+ sin\frac{}{ } \frac{ \gamma }{2} )^{3}[/tex]
Нека [tex]f(x)=sin\frac{}{ } \frac{x}{2 }[/tex]
[tex]f"(x)=-\frac{sin\frac{}{ } \frac{x}{2 }}{4 }<0[/tex] за всяко [tex]x\in (0,\pi )[/tex]
от неравенство на Йенсен получаваме:
[tex]sin\frac{}{ } \frac{ \alpha }{2} +sin \frac{}{ } \frac{ \beta }{2}+ sin\frac{}{ } \frac{ \gamma }{2}\le 3sin\frac{}{ } \frac{\frac{\alpha }{2 }+\frac{\beta }{2 }+\frac{\gamma }{2 } }{3 }=\frac{3}{2 }[/tex]
[tex]=>\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\le \frac{3}{2 }[/tex] Като равенството се достига при равни ъгли
Сега е ясно че ако триъгълникът има тъп ъгъл то произведението от косинуси ще е отрицателно и изразът ще е по малък от колкото когато триъгълникът е остроъгълен,тогава косинусите са положителни числа и можем да изпозлваме неравенство на Коши:
[tex]\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\le \frac{1}{27 } (\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^{3}\le \frac{1}{8 }[/tex]
тъй като равенствата се достигат при равни ъгли можем да заключим:
[tex]\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma\le \frac{13}{ 8}[/tex]

[мадамкюри]

Браво за решението !

[go6aih]

Не разбрах защо отговора е "<= "като според мен е само "="
Изчислението с Wolfram дава този отговор
NMaximize[{Cos[x] + Cos[y] + Cos[z] + Cos[x]*Cos[y]*Cos[z], x + y + z == Pi}, {x, y, z}]
{1.625, {x -> 1.0472, y -> 1.0472, z -> 1.0472}}