точен квадрат

[martin123456]

Намерете всички [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], че [tex]n^7+7[/tex] е точен квадрат.

[dim]

[tex]n^7+7=a^2[/tex] (1)
Ако [tex]n[/tex] е нечетно, тогава [tex]a[/tex] е четно и обратното.

Нека [tex]n=2k[/tex] => [tex]128k^7+7=(2t+1)^2[/tex] <=> [tex]64k^7+3=2(t^2+t)[/tex], което е невъзможно.

Ако [tex]n=2k+1[/tex] => [tex](2k+1)^2+7=4t^2[/tex]. Числото вляво има вид: [tex]4A+14k+8[/tex] , което се дели на 4 => k е четно: [tex]k=2s[/tex] => [tex]n=4s+1[/tex]

Сега от (1) и [tex]7=2^7-11^2[/tex]=> [tex]a^2+11^2=n^7+2^7=(n+2)(n^6-2n^5+2^2n^4-2^3n^3+2^4n^2-2^5n+2^6)[/tex]
Двата множителя вдясно са нечетни и са взаимно прости, освен това имат вид [tex]4k+3[/tex] => ще има прост делител в каноничното им разлагане (един или някакъв нечетен брой), който да е с вид [tex]p=4k+3[/tex]. Но от теоремата, която гласи, че ако [tex]p=4k+3[/tex] и [tex]p|x^2+y^2[/tex] , то [tex]p|x[/tex] и [tex]p|y[/tex] => [tex]p|11,[/tex] =>[tex]p=11[/tex], но [tex]GCD(n+2,n^6-2n^5+2^2n^4-2^3n^3+2^4n^2-2^5n+2^6)=1[/tex] - противоречие => не съществуват такива [tex]n[/tex], за които да е изпълнено условие (1).

[dgs]

... противоречие => не съществуват такива [tex]n[/tex]

Сигурно е сбъркано условието и трябва да е
[tex]n^7-7[/tex]
[tex]2^7-7 = 128 - 7 = 121 = 11^2[/tex]

[dim]

... противоречие => не съществуват такива [tex]n[/tex]

Сигурно е сбъркано условието и трябва да е
[tex]n^7-7[/tex]
[tex]2^7-7 = 128 - 7 = 121 = 11^2[/tex]

Възможно е, но според мен е малко вероятно. "Няма решение" също е решение.

[martin123456]

не е объркано условието, мерси dim

[dim]

не е объркано условието, мерси dim

За нищо. А ти как реши задачата?

[martin123456]

не я бях решил

[Станислав]

Прибавяме 121 към двете страни и след кратки манипулации доказваме, че лявата страна има делител от вида [tex]4k+3[/tex], но тогава съществува и прост делител от същия вид. Сега ползваме, че [tex]p\in\mathbb{P}, p=4k+3, p|a^2+b^2\Rightarrow p|a \cap p|b[/tex], но тогава следва, че [tex]p=11[/tex], което противоречи на вида му... Разбира се, решението трябва да се разпише, но идеята вече е ясна.

[dim]

Доколкото разбирам ти използваш, че [tex]p=11[/tex] не е от вида [tex]4k+3[/tex], което обаче не е вярно, защото [tex]11=4.2+3[/tex]. Или нещо не съм разбрал правилно ?

[Saposto_MM]

Значи p=11. [tex]11^2|a^2+11^2=n^7+128[/tex]. Така [tex]11^2|n+2[/tex], което е 4k+3, но тогава и [tex]\frac{n+2}{11^2}[/tex]е 4k+3 и значи [tex]a_1^2+1[/tex] ([tex]a=11a_1[/tex]) има делител от вида 4k+3 - невъзможно.
Говорено е преди във форума как се доказва, че изрази от вида [tex]x^m+r[/tex] ([tex]x,m\in \mathbb{N}[/tex], [tex]r\in\mathbb{Z}[/tex]) не са точни квадрати.

[dgs]

... Говорено е преди във форума как се доказва, че изрази от вида [tex]x^m+r[/tex] ([tex]x,m\in \mathbb{N}[/tex], [tex]r\in\mathbb{Z}[/tex]) не са точни квадрати.

Не съм чул/чел кога и какво е говорено, ама това написано точно по този начин е невярно.
Ето например един от многото възможни примери:
x=3, m=3, r=9 (или пък r=22)

[Saposto_MM]

Разбира се, че не е вярно! Става въпрос, че когато имаш да докажеш, че уравнение от този вид няма решение в естествени числа, обикновено става по този начин. (Вижте БОМ '98, НОМ '81 и ЗМС '07 - 10-ти клас)

[livio]

Решението на Dim от 15 януари 2010 е вярно. Само да коригира [tex](2k+1)^2[/tex] на [tex](2k+1)^7[/tex] на 4-ти ред. Отговорът на задачата е: няма естествени числа n, такива че [tex]n^{7}+7[/tex] е точен квадрат.