Неравенство със степени

[ins-]

Нека [tex]a,b,c[/tex] са реални положителни числа. Да се докаже, че:
[tex](\frac{a+b+c}{3})^{a+b+c}\geq a^{b}b^{c}c^{a}[/tex]

[drago]

Имаме:

[tex]a^{\frac{b}{a+b+c}} \, b^{\frac{c}{a+b+c}} \, c^{\frac{a}{a+b+c}} \leq a\frac{b}{a+b+c} + b\frac{c}{a+b+c} + c\frac{a}{a+b+c} =[/tex]

[tex]= \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \leq \frac{(a+b+c)^2}{3(a+b+c)}= \frac{a+b+c}{3}[/tex].

Първото от поредицата неравенства е обобщеното (с тегла) СА-СГ. Вторият път се използва: [tex]ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2[/tex].