Минимално лице

[chessman]

Даден е триъгълникът ABC със страни AB=2koren ot 3, BC=3, CA=koren ot 3. Върху страните AB BC i CA са взети съответно M N i P така че AM = BN = CP = x. Да се намери стойността на x при която лицето на MNP е най - малко.

[amsara]

Ще пиша докъдето имам идея как става.
Веднага се вижда, че АВС е правоъгълен. [tex]\sqrt{3}^2+3^2=(2\sqrt{3})^2[/tex]
[tex]\angle C=90 ^\circ ; \angle A = \alpha; \angle B=\beta[/tex]
[tex]sin \alpha = \frac{BC}{AB }=\frac{3}{2\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{ 2}[/tex]
[tex]sin \beta = \frac{AC}{AB }=\frac{\sqrt{3} }{ 2\sqrt{3} }=\frac{1}{2 }[/tex]
[tex]AM=BN=CP=x => MB=2\sqrt{3}-x; CN=3-x; AP=\sqrt{3} -x[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{3\sqrt{3} }{ 2}[/tex]
[tex]S_{1}=S_{AMP}=x.(\sqrt{3}-x).\frac{\sqrt{3} }{ 2}.\frac{1}{2 }=\frac{3x-\sqrt{3}x^2 }{ 4}[/tex]
[tex]S_{2}=S_{MBN}=x.(2\sqrt{3}-x).\frac{1}{2 }.\frac{1}{ 2}=\frac{2x\sqrt{3}-x^2 }{ 4}[/tex]
[tex]S_{3}=S_{PNC}=\frac{x(3-x)}{2 }=\frac{2x(3-x)}{4 }[/tex]
[tex]S_{MNP}=S_{ABC}-S_{1}-S_{2}-S_{3}=[/tex]
[tex]=\frac{6\sqrt{3} }{4 }-\frac{3x-\sqrt{3}x^2 }{ 4}-\frac{2x\sqrt{3}-x^2 }{ 4}-\frac{2x(3-x)}{4 }=[/tex]

[tex]=\frac{6\sqrt{3}-3x+\sqrt{3}x^2-2x\sqrt{3} +x^2-6x+2x^2 }{ 4}[/tex]

[tex]=\frac{x^2(\sqrt{3}+3)-x(9+2\sqrt{3})+6\sqrt{3} }{ 4}[/tex]
Най-малката стойност на тази дроб с тези корени , както и при какъв х се достига, не мога да намеря.Не знам как.Дано поне това до тук да е правилно и да ти е от полза.

[inveidar]

Е, то това е квадратен тричлен! Учили сте го още в 7-ми клас. Отделяне на точен квадрат. Може и с графика на квадратната функция, ако (според мен, нормално!) са ви го предали вече.

[Anubis]

Означенията са на картинката. Виждаме, че [tex]AC^2+BC^2=AB^2[/tex], т. е. [tex]\angle ACB=90^\circ[/tex].

Също така [tex]\sin \beta = \frac{1}{2} \Rightarrow \beta = 30^\circ[/tex].

[tex]S_{\triangle MNP}[/tex] ще е най-малко, ако [tex]S_{\triangle ABC}-S_{\triangle MNP}[/tex] е най-голямо, т. е. търсим

[tex]S_{\triangle AMP}+S_{\triangle BMN}+S_{\triangle CNP} \to \operatorname{max}[/tex]

Горната сума е равна на

[tex]\frac{AM.AP}{2}.\sin 60^\circ + \frac{BM.BN}{2}.\sin 30^\circ + \frac{CP.CN}{2}.\sin 90^\circ = \frac{x(\sqrt{3}-x)}{2}.\sin 60^\circ + \frac{x(2\sqrt{3}-x)}{2}.\sin 30^\circ + \frac{x(3-x)}{2}.\sin 90^\circ[/tex]

Ако въведем функцията [tex]f(x)[/tex], която да е равна на тази сума от трите лица, търсим

[tex]f(x)=\frac{1}{4} \left [ (-\sqrt{3}-3)x^2 + (9+2\sqrt{3})x \right ] \to \operatorname{max}[/tex].

Понеже [tex]f'(x)=0 \Leftrightarrow x_{0} = \frac{7-\sqrt{3}}{4}[/tex] и [tex]f'(x) \ge 0[/tex] при [tex]x \in (-\inft; \, x_{0}][/tex], [tex]f'(x) \le 0[/tex] при [tex]x \in [x_{0}; \, +\infty)[/tex], то

точката [tex]x_{0}[/tex] е точката на търсения максимум.

Може да се използва и стандартният начин за квадратната функция: [tex]g(x)=ax^2+bx+c[/tex]

достига своя минимум (или максимум, зависи от знака на [tex]a[/tex]) в точката с абсциса

[tex]x_{0}=-\frac{b}{2a}[/tex].

[amsara]

Е, то това е квадратен тричлен! Учили сте го още в 7-ми клас. Отделяне на точен квадрат. Може и с графика на квадратната функция, ако (според мен, нормално!) са ви го предали вече.

Не ме разбра. Не, че принципно не знам как се отделя точен квадрат, а че в конкретния случай не успях. Толкова ли е срамно, че го признах?

А другото с параболата не са ни го предавали, сега се сещам обаче, че съм го срещала тук.

[inveidar]

Не ме разбра. Не, че принципно не знам как се отделя точен квадрат, а че в конкретния случай не успях. Толкова ли е срамно, че го признах?

А другото с параболата не са ни го предавали, сега се сещам обаче, че съм го срещала тук.

Не разбрах, че не си успяла да отделиш точен квадрат. Нямаше такова изказване в предишното ти мнение.
А е срамно, че неможеш да отделиш точен квадрат от този израз, защото процедурата е стандартна.

[amsara]

100720121016.jpg (559.78 KiB) Прегледано 643 пъти

Не ме разбра. Не, че принципно не знам как се отделя точен квадрат, а че в конкретния случай не успях. Толкова ли е срамно, че го признах?

А другото с параболата не са ни го предавали, сега се сещам обаче, че съм го срещала тук.

Не разбрах, че не си успяла да отделиш точен квадрат. Нямаше такова изказване в предишното ти мнение.
А е срамно, че неможеш да отделиш точен квадрат от този израз, защото процедурата е стандартна.

Ами аз лично мисля, че няма нищо срамно в това, че не съм успяла да отделя квадрата, дори когато добре знам принципа. То ако човек знаеше и можеше всичко, нямаше да му се налага да ходи на училище, да пита, да пише по форуми и т.н. Нямаше да има и нужда от учители тогава. Важното е да се пробвам, а да не чакам друг да ми го направи. А аз съм пробвала. Просто сигурно съм се оплела в сметките с тези корени. Или отговорът, който получих, си е верен, а на мен ми е изглеждал грешен заради получената странна стойност за х.

И за да не излезе, че лъжа, ето реда, който следвах при отделянето на точния квадрат:

[inveidar]

А аз се бях уплашил да не те е домързяло през лятото да решаваш задачи.

[amsara]

Не ме е домързяло, иначе нямаше да съм тук. Просто ми се стори много смахнат такъв отговор за страна на триъгълник и реших, че съм сгрешила някъде. Затова написах, че не мога да я реша нататък.

[inveidar]

Да подходим малко по-общо. Нека ни е даден триъгълник АВС с дължини на страните AB=c, BC=a, CA=b и ъгли при върховете А, В и С, съответно равни на [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex]. Тогава(виж чертежа на Анубис!) [tex]\frac{S_{AMP}}{S_{ABC} } =\frac{x.(b-x)}{b.c }[/tex], [tex]\frac{S_{BNM}}{ S_{ABC}}=\frac{x.(c-x)}{a.c }[/tex], [tex]\frac{S_{CPN}}{S_{ABC} }=\frac{x.(a-x)}{ a.b}[/tex].
Сега лесно получаваме [tex]S_{AMP}+S_{BNM}+S_{CPN}=\frac{a.x.(b-x)+b.x.(c-x)+c.x.(a-x)}{a.b.c }.S_{ABC}.[/tex], т.е

[tex]S_{AMP}+S_{BNM}+S_{CPN}=\frac{-(a+b+c).x^{2}+(a.b+a.c+b.c)x}{a.b.c }.S_{ABC}[/tex] и отново с отделяне на точен

квадрат виждаме, че този сбор достига своя максимум при [tex]x=\frac{a.b+a.c+b.c}{2.(a+b+c) }[/tex].