Лице на правоъгълен триъгълник

[gab4eto_pz11]

Височината и ъглополовящата към хипотенузата на правоъгълен триъгълник имат дължини съответно 3 см и 4 см. Намерете лицето на правоъгълния триъгълник. Отговор: 72 кв.см

[someone]

Работим в стандартни означения. За лице на правоъгълен триъгълник имаме директна формула за ъглополовящата на правия ъгъл чрез катетите и тя е [tex]l_c=\frac{sqrt2 ab}{a+b}[/tex]. (Доказателство: Нека [tex]CC_1=lc[/tex] е ъглополовящата на правия ъгъл. Тогава [tex]S_{ABC} = S_{ACC_1} + S_{BCC_1} \Rightarrow \frac{ab}{2} = \frac{a.l_c.sin45^\circ}{2}+\frac{b.l_c.sin45^\circ}{2}[/tex] и след преработка достигаме до горния израз за [tex]l_c[/tex].).
Освен това [tex]2S=ab=c.h_c \Rightarrow hc=\frac{ab}{c} = \frac{ab}{sqrt{a^2+b^2}}[/tex]. По условие [tex]l_c = 4[/tex] и [tex]h_c = 3[/tex], следователно можем да съставим системата
[tex]\begin{array}{|l}\frac{sqrt2 ab}{a+b} = 4 \\ \frac{ab}{ sqrt { a^2+b^2 } } = 3\end{array}[/tex]
Тя е симетрична, затова я решаваме по стандартния начин за решаване на симетрични системи:
полагаме [tex]u = a + b, v = ab[/tex].
Еквивалентната система е [tex]\begin{array}{|l} \frac{sqrt2 v}{u} = 4 \\ \frac{v} { sqrt {u^2-2v} } = 3\end{array}[/tex]
Отговорът на нашата задача е [tex]S=\frac{ab}{2}=\frac{v}{2}[/tex], т.е. ни е необходимо да намерим само [tex]v[/tex].
От първото уравнение на системата изразяваме [tex]u=\frac{sqrt2}{4} v[/tex], т.е. [tex]u^2 = \frac{v^2}{8}[/tex] (1).

Второто го повдигаме на квадрат и получаваме [tex]v^2 = 9(u^2 - 2v)[/tex] (2).

Заместваме (1) в (2): [tex]v^2 = 9 (\frac{v^2}{8} - 2v)[/tex], което след опростяване се свежда до [tex]v^2 - 144v = 0[/tex] с корени [tex]0[/tex] и [tex]144[/tex], от които е ясно, че само [tex]v=144[/tex] е допустим. Тогава [tex]S = \frac{v}{2}=72[/tex].
ПС: Хубаво е все пак да сме сигурни, че има такива [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], които да удовлетворяват системата, защото понякога се срещат задачи, в които търсеният отговор може да се намери без да се намират всички отделни елементи, но след дорешаване се оказва, че те не могат да бъдат намерени (не са реални числа), т.е. такава геометрична конфигурация не съществува.
В случая трябва да сме сигурни, че системата за [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], произтичаща от намерените [tex](u; v) = (36sqrt2; 72)[/tex] има решение в положителни числа. Тъй като [tex]u = a + b[/tex], [tex]v = ab[/tex], то е ясно, че тези числа са корени на уравнението [tex]x^2-ux+v=0[/tex] (*), т.е. за да има системата решение в положителни числа трябва [tex]\begin{array}{|l}u>0 \\ v>0 \\ D_{(*)}=u^2 - 4v\ge 0\end{array}[/tex].
Установяването, че и трите условия са изпълнени, е елементарно, т.е. такава геометрична конфигурация действително съществува. Ето обаче пример за задача, в която се оказа, че всъщност не съществуваше: viewtopic.php?p=56088#p56088 .

[gab4eto_pz11]

благодаря, а мога ли да оставя задачата дотам, където сте намерили лицето, без тази проверка отдолу с трите условия, които трябва да установя, че са удовлетворени?

[someone]

Разбира се, че можеш. Това, да съществува действително такава геометрична конфигурация, е ангажимент на автора на задачата. Сама разбираш, че е безсмислено един автор да дава задача, в която се търсят някакви величини, касаещи геометрични фигури, а всъщност да цели учениците да открият, че такава не съществува. Мисълта ми беше, че не е излишно да се направи такава проверка, защото дори и най-опитните автори могат да допуснат такива грешки, все пак никой не е безгрешен . Стават такива грешки понякога и по изпити/матури/олимпиади и, ако бъдат засечени, трябва да се съобщава навреме.

[gab4eto_pz11]

благодаря още веднъж

[inveidar]

Разбира се, че можеш. Това, да съществува действително такава геометрична конфигурация, е ангажимент на автора на задачата. Сама разбираш, че е безсмислено един автор да дава задача, в която се търсят някакви величини, касаещи геометрични фигури, а всъщност да цели учениците да открият, че такава не съществува. Мисълта ми беше, че не е излишно да се направи такава проверка, защото дори и най-опитните автори могат да допуснат такива грешки, все пак никой не е безгрешен . Стават такива грешки понякога и по изпити/матури/олимпиади и, ако бъдат засечени, трябва да се съобщава навреме.

Тук може да се спори. Какво означава да се реши уравнение? Да се намерят корените му, или да се докаже, че няма такива. Какво би трябвало да означава да се реши една геометрична задача за изчисление? Да се намери числената(или буквена) стойност на съответната величина, или да се докаже, че тя не съществува. Този спор не съм го измислил аз, а съм чел за него в руски книжки.

[monika_at]

Да се опитаме да изразим лицето чрез h и l, като ползваме, че
ch=ab=2S

[tex](a+b)l=\sqrt{2} ab=>(a^2+b^2+2ab)l^2=2a^2b^2=>[/tex]

[tex](c^2+4S)l^2=8S^2=>(\frac{4S^2}{h^2 } +4S)l^2= 8S^2[/tex] Делим на [tex]4S[/tex]=>

[tex](S+h^2)l^2=2Sh^2=>S=\frac{h^2l^2}{ 2h^2-l^2}[/tex]

[gab4eto_pz11]

благодаря, а задачата може ли да се реши чрез метричните зависимости в правоъгълен триъгълник и да се използва и разстоянието между точките H и L?

[monika_at]

благодаря, а задачата може ли да се реши чрез метричните зависимости в правоъгълен триъгълник и да се използва и разстоянието между точките H и L?

Може и да може, но подозирам, че ще е ужасно решение

[Евва]

Ето една идея и от мен .
Нека CH и CL са височината и ъглополовящата към хипотенузата в правоъгълния [tex]\triangle[/tex]АВС ([tex]\angle[/tex]АСВ=90[tex]^\circ[/tex])
Построяваме правоъгълника NLMC , като т.N лежи на отс.АС и т.М лежи на отс.ВС .
Диагоналът CL се явява ъглополовяща на правия [tex]\angle[/tex]NCM [tex]\Rightarrow[/tex] NLMC е квадрат .
CN=CM=?
[tex]CN^{2 } +NL^{2}=CL^{2}[/tex] ; 2[tex]CN^{2 }[/tex]=16 ; CN=2[tex]\sqrt{2}[/tex] см.
Тогава AN=b-2[tex]\sqrt{2}[/tex] и BM=a=2[tex]\sqrt{2}[/tex]
[tex]\triangle[/tex]ALN[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]LBM ( 1 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AN}{LM} = \frac{LN}{BM}[/tex] ; [tex]\frac{b-2 \sqrt{2} }{2 \sqrt{2} }= \frac{2 \sqrt{2} }{a-2 \sqrt{2} }[/tex]

Получаваме ab=2[tex]\sqrt{2}[/tex](a+b) (1)
[tex]\frac{3c}{2}= \frac{ab}{2}[/tex] ; c=[tex]\frac{ab}{3}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex]ABC- правоъгълен [tex]а^{2 } +b^{2 }= c^{2 }[/tex] ; [tex](a+b) ^{2 }[/tex] -2ab=[tex]c^{2 }[/tex] (3)

[tex]\begin{array}{|l} a + b = \frac{ab}{2 \sqrt{2} } \\ c^{2 } = \frac{ (ab)^{2 } }{9} \\ (a+b)^{2 } -2ab= c^{2 } \end{array}[/tex]

[tex]\frac{ (ab)^{2 } }{8}[/tex] -2ab=[tex]\frac{ (ab)^{2 } }{9}[/tex] |.72[tex]\ne[/tex]0

9[tex](ab)^{2 }[/tex] -144ab -8([tex]ab)^{2 }[/tex] =0 |:ab[tex]\ne[/tex]0

ab=144 |:2[tex]\ne[/tex]0
[tex]\frac{ab}{2}[/tex] =72

[tex]S_{ABC }[/tex] =72 [tex]см.^{2 }[/tex]