Лице на триъгълник

[nadeva]

Малко помощ за следната задача:

За триъгълник АВС се знае че височините към a и b са по-големи или равни отстраните към които са спуснати а третата страна е равна на c.Да се намери лицето на триъгълника.

[Nathi123]

Да означим лицето на триъг. АВС с S.Тогава [tex]h_{a }[/tex] = [tex]\frac{2S}{a}[/tex] (височината към страната а).
Получаваме [tex]2S\ge a^{2}[/tex].Аналогично [tex]2S\ge b^{2}[/tex]. Събираме почленно двете неравенства и получаваме
[tex]4S\ge( a^{2}+b^{2})[/tex]. (1). От S=[tex]\frac{1}{2}[/tex].a.b.sin[tex]\gamma[/tex],следва,че [tex]S\le\frac{a.b}{2}[/tex](2).
От (1) и (2) ,и транзитивност на неравенства получаваме ,че [tex]ab\ge\frac{(a^{2}+x^{b}}{2}[/tex]-ab.Т.е. [tex]\frac{(a-b)^{2}}{2}\le0[/tex](3).
Неравенство (3) е изпълнено тогава и само тогава ,когато а = b. Ако построим височината към страната а,тя ще е катет на правоъгълен триъгълник на който хипотенузата трябва да е другата страна b=a на триъгълника .От условието,че височината към страната а е по -голяма или равна на а ,следва че това е възможно само ,ако петата на височината съвпада с върха С на триъгълника.Значи триъгълникът е правоъгълен равнобедрен с хипотенуза равна на с. a = [tex]\frac{c\sqrt{2}}{2} и S = \frac{c^{2}}{4}[/tex].

[nadeva]

Благодаря за отделеното време. Прегледах подробно предложеното решение, но не разбрах защо "Ако построим височината към страната а,тя ще е катет на правоъгълен триъгълник на който хипотенузата трябва да е другата страна b=a на триъгълника ."

[Alex98]

Ако [tex]AA_1=h_a[/tex] и [tex]BB_1=h_b[/tex] са съответно височините към страните [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] ,то [tex]\Delta AA_1C[/tex] и [tex]\Delta BB_1C[/tex] са правоъгълни с хипотенузи съответно [tex]AC=b[/tex] и [tex]BC=a[/tex] (Ако изобщо съществуват.В този случай тези триъгълници са изродени в отсечки.)[tex]\Rightarrow h_a\le b ; h_b\le a[/tex].От условието получаваме:
[tex]b\ge h_a\ge a[/tex] и [tex]a\ge h_b\ge b \Rightarrow a=b=h_a=h_b[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta ABC[/tex] е равнобедрен правоъгълен.С помощта на Питагоровата теорема ще намерим страните му:[tex]a^2+b^2=c^2 \Rightarrow a=b=\frac{c\sqrt{2}}{2} \Rightarrow S_{ABC}=\frac{a.b}{2}=\frac{c^2}{4}[/tex]

[nadeva]

Сега вече изглежда съвсем ясно. Благодаря!