Периметър на триъгълник

[Nathi123]

За квадрата ABCD точките Р и Q са съответно от страните CD и ВС и такива,че [tex]\angle PAQ = 45^\circ[/tex]. Намерете периметъра на [tex]\Delta PQC[/tex], ако AD = a.

[Knowledge Greedy]

Да направим триъгълна пристройка [tex]\Delta ADW[/tex]на квадрата външно върху страната AD така, че [tex]\angle DAW=\angle BAP[/tex]

Задачата на Nathi123.png (2.45 KiB) Прегледано 1497 пъти

т.е. [tex]\Delta ADW \cong \Delta BAP[/tex] - по първи признак.
Оттук следва, че [tex]AW=AP[/tex] (това разбира се, можеше да е и първоначалното построение - но тогава еднаквостта щеше да се осигурява от IV-ти).
Първото следствие е, че [tex]\angle WAQ = 45^\circ[/tex]
С този факт и с първи признак за еднаквост доказваме,че са еднакви и [tex]\Delta AQP[/tex] и [tex]\Delta AQW[/tex]
Следователно [tex]WQ=PQ[/tex].

Стигнахме до периметъра [tex]P_{\Delta PQC}[/tex]
[tex]P_{\Delta PQC}=CQ+PQ+CP=CQ+WQ+CP=CQ+DQ+WD+CP=\underbrace{CQ+DQ}+\underbrace{PB+CP}=CD+BC=2a[/tex]

Ето и още една картинка.

Задачата на Nathi123 основен чертеж.png (3.51 KiB) Прегледано 1497 пъти