Лицето на триъгълник АСВ=30, АС=ВС и периметър равен на 1

[shener.hadjimehmed]

Да се намери лицето на триъгълник АВС, ако [tex]\angle[/tex] АСВ=30 , АС=ВС и периметър равен на 1.

[KOPMOPAH]

Пробва ли с косинусова теорема да намериш страните, а после лицето по формулата $S=\frac {b^2 \sin \alpha}2$, където $b$ е бедрото

[Knowledge Greedy]

Равнобедрен с 30 градуса.png (1.69 KiB) Прегледано 1345 пъти

Прилагаме косинусова теорема при означенията от чертежа.
[tex](1-2x)^2=x^2+x^2-2.x.x.cos30^\circ[/tex] [tex](\ast)[/tex]
От двата корена само [tex]x=\frac{2-\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2+\sqrt{3}}[/tex] e в интервала [tex]\left (0;\,\ \frac{1}{2} \right )[/tex] - дефиниционното множество.
След това прилагаме формулата по съвета на KOPMOPAH » Сря Мар 08, 2017 10:11 pm
[tex]S_{ABC}=\frac{1}{4}x^2[/tex]

Поради това, че намерената страна удовлетворява уравнението [tex](\ast) \,\ \Leftrightarrow \,\ (2+\sqrt{3})x^2-4x+1=0[/tex],
заместваме [tex]x^2[/tex] с неговото равно [tex]\frac{4x-1}{2+\sqrt{3}}[/tex] и в него заместваме с намерения [tex]x[/tex].

В последния момент се отказах и вместо косинусова теорема написах определението за косинус на ъгъла при основата
[tex]cos75^\circ=\frac{1-2x}{2x}[/tex] - в правоъгълния триъгълник с катети височината към основата и половината основа, и хипотенуза бедрото. Понеже [tex]cos75^\circ=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}[/tex] по-лесно се получи [tex]x=\frac{2}{4+\sqrt{6}+\sqrt{2}}[/tex]
И за лицето [tex]S_{ABC}=\frac{1}{4}x^2[/tex] намираме [tex]S_{ABC}=\frac{1}{(4+\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Понеже [tex]cos75^\circ=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}[/tex], отговорът всъщност е [tex]S_{ABC}=\frac{1}{(4+\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}[/tex]