Равностранен триъгълник

[shener.hadjimehmed]

Разстоянието на точка от вътрешността на равностранен триъгълниик до страните му са 2см.3см.4см.Лицето на триъгълника е равно на ?

[Knowledge Greedy]

I-ви начин - детски. Начертаваме точно дадения триъгълник, измерваме с линийка страната и височината, и изчисляваме по формулата [tex]S=\frac{ah_a}{2}[/tex]
II-ри начин - на възторжения кандидатстудент.

Лицето на равностранен.png (5.58 KiB) Прегледано 11199 пъти

С косинусова теорема за триъгълника [tex]\Delta DEM[/tex] откриваме страната [tex]DE=\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}}[/tex] и със синусова намираме диаметъра [tex]BM[/tex] на описаната около [tex]\Delta DEM[/tex] окръжност (тя минава през точката [tex]A[/tex], защото целият четириъгълник [tex]DBEM[/tex] е вписан в нея). Прилагаме питагорова теорема, с която намираме втория катет [tex]BD=\frac{8}{\sqrt{3}}[/tex] на правоъгълния [tex]\Delta BMD[/tex].
Повтаряме същия алгоритъм за [tex]\Delta FDM[/tex]: с косинусова теорема намираме страната му [tex]DF=\sqrt{28}[/tex] и я включваме в синусова теорема [tex]\frac{DF}{sin60^\circ} =2R_{\Delta FDM}=AM=\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{3}}[/tex], която използваме като хипотенуза в правоъгълния [tex]\Delta ADM[/tex]. От него с теоремата на Питагор намираме другата част от основата, а именно [tex]AD= \frac{10}{\sqrt{3}}[/tex].
След като знаем основата [tex]AB=\frac{18}{\sqrt{3}}[/tex] не е трудно да открием [tex]S_{ABC}=27\sqrt{3}[/tex]

III-ти начин - метод на експерта осмокласник. Той знае, че както и да изберем вътрешна точка [tex]M[/tex] за равностранния [tex]\Delta ABC[/tex], сборът от разстоянията ѝ до страните му е равен на височината - т.е. в условието на задачата скрито е зададена височината на равностранния триъгълник [tex]h=MD+ME+MF=9 \,\ \Rightarrow \,\ a=\frac{2h}{\sqrt{3}}=6\sqrt{3} \,\ \Rightarrow \,\ S_{ABC}=27\sqrt{3}[/tex]