Общи задачи 6клас: цилиндър; кълбо; конус;

[ABC/2]

Здравейте, това са задачи, които съм решил, но се съмнявам в решенията си и затова реших да ги споделя и да сверя начините на решаване.
Благодаря ако някой се отзове. Ако ли не, след ден-два ще споделя моите решения и ако някой види грешки, може да помогне. Но засега няма да го правя да не подведа някого с евентуални мои грешки. Поздрави!

1. Дървен цилиндър, на който височината е равна на диаметъра, е изрязан до кълбо с най-голям обем. Каква част от обема на цилиндъра е изрязана?

2. Метален цилиндър е изрязан до конус със същата основа и същата височина. Каква част от обема на цилиндъра е изрязана?

3. От алуминий е отлят цилиндър. Колко конуса със същата основа и със същата височина може да се отлеят от цилиндъра?

4.От медно кълбо с радиус 6см е отлят цилиндър с радиус 6см. Намерете:
а) височината на цилиндъра;
б) масата на цилиндъра, ако 1 куб. см мед тежи 8,9г.

5.От меден цилиндричен прът с дължина 2м и радиус 10см е изтеглена жица (проводник) с диаметър 4мм. Намерете дължината на жицата.

6. Намерете плътността на веществото, от което е направено кълбо с радиус 6см, ако масата му е:
а)881,712 г; б) 305,208 г.

[KOPMOPAH]

1. Дървен цилиндър, на който височината е равна на диаметъра, е изрязан до кълбо с най-голям обем. Каква част от обема на цилиндъра е изрязана?

Още Архимед е установил, че обемите на конус и сфера, вписани в цилиндър, и обемът на самия цилиндър се отнасят както $1:2:3$.
Той толкова се е гордеел с откритието си, че е пожелал на надгробния му камък да е изобразено кълбо, вписано в цилиндър.

Цилиндър и сфера.png (25.04 KiB) Прегледано 3880 пъти

2. Метален цилиндър е изрязан до конус със същата основа и същата височина. Каква част от обема на цилиндъра е изрязана?

Обемът на цилиндъра е $V_{ц}=B.H$, а на конуса - $V_{к}=\frac 13 B.H$, следователно е изрязано $\frac 23$ от обема на цилиндъра.

3. От алуминий е отлят цилиндър. Колко конуса със същата основа и със същата височина може да се отлеят от цилиндъра?

Взимайки пример от Архимед (и от предната задача), лесно получаваме, че могат да се получат три конуса от материала, необходим за един цилиндър.

4.От медно кълбо с радиус 6см е отлят цилиндър с радиус 6см. Намерете:
а) височината на цилиндъра;
б) масата на цилиндъра, ако 1 куб. см мед тежи 8,9г.

а) Обемът на кълбото е $V=\frac 43 \pi R^3=\frac 43 \pi 6^3=\frac 43 \pi .216$, а на цилиндър със същия радиус $V= \pi R^2.H= \pi 6^2.H=36\pi.H$, като приравним двата обема, получаваме $\frac 43 \pi .216=36\pi.H\cdots$ намираме височината.
б) Масата на кълбото се намира, като се умножи обемът му по специфичното тегло, в случая 8,9 г/куб.см и получаваме $\frac 43 \pi .216.8,9=\cdots$

5.От меден цилиндричен прът с дължина 2м и радиус 10см е изтеглена жица (проводник) с диаметър 4мм. Намерете дължината на жицата.

Медният цилиндричен прът има обем $V=\pi.R^2.H=\pi.0,10^2.2=\pi.0,02$, изтеглената жица (проводникът) с диаметър $0,004\;m$ има същия обем, следователно при неизвестна дължина $x$ имаме равенството $\pi.0,02=\pi.0,004^2.x$, откъдето получаваме $x=\frac{2.10^{-2}}{(4.10^{-3})^2}=\cdots=1250\,m$

6. Намерете плътността на веществото, от което е направено кълбо с радиус 6см, ако масата му е:
а)881,712 г; б) 305,208 г.

Е, намерете обема и разделете масата на обема, за да получите плътността

[ABC/2]

5.От меден цилиндричен прът с дължина 2м и радиус 10см е изтеглена жица (проводник) с диаметър 4мм. Намерете дължината на жицата.

Медният цилиндричен прът има обем $V=\pi.R^2.H=\pi.0,10^2.2=\pi.0,02$, изтеглената жица (проводникът) с диаметър $0,004\;m$ има същия обем, следователно при неизвестна дължина $x$ имаме равенството $\pi.0,02=\pi.0,004^2.x$, откъдето получаваме $x=\frac{2.10^{-2}}{(4.10^{-3})^2}=\cdots=1250\,m$

Здравей Корморан, благодаря ти за отговорите.
Относно 5 задача: казваш, че обемът на проводника с диаметър 4мм е същият като на цилиндричният прът с дължина 2 см и радиус 10см. Това трябва да значи, че този проводник е само един в цилиндричният прът и е навит плътно в него, за да заеме целият му обем. Ако е така, значи ние изтегляме реално една част от проводника. Поне аз така го разбирам...
И тогава замествайки по формулите:
V=П.R^{2} .H=3,14.100.200=62 800 куб.см
62800=П.0,2^{2} .x от тук X=[tex]\frac{62800}{0,1256}[/tex]=5km

Още веднъж благодарности!
П.П Сега научих тази любопитна информация, че Архимед е пожелал на надгробния му камък да е изобразено кълбо, вписано в цилиндър. Благодарности и за нея

[KOPMOPAH]

Браво, ABC/2, правилно си решил задачата за медния проводник. Аз съм допуснал грешка, приемайки че РАДИУСЪТ е 4 мм. Всъщност проводникът не е "навит", а става дума за два цилиндъра от мед. Единият е първоначалният, а другият - жицата с диаметър 4 мм и дължина 5 км.