Най- малко лице

[straight_sh]

Сраната AC на остроъгълен триъгълник е 12, а радиуса на вписаната в него окр. е 4,5. Кое е най- малкото лице, което ABC може да има? Ще съм много благодарна, ако някои ми даде идея за задачата.

[martin123456]

нека допирните точки на вписаната окръжност с CB, AB, AC са съответно M,N,P. нека CM=x=PC, MB=12-x=NB и AN=y. целта е да изразим y чрез x, за да можем да приложим S=pr=4.5p=4.5(24+2y) и вече да видим къде е минимумът.

[tex]tg\frac{\beta}{2}=\frac{4.5}{12-x}[/tex], [tex]tg\frac{\gamma}{2}=\frac{4.5}{x}[/tex]
[tex]tg\frac{\alpha}{2}=tg(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma+\beta}{2})=cotg(\frac{\gamma+\beta}{2})=\frac{1}{tg(\frac{\gamma+\beta}{2})}=\frac{1-tg\frac{\gamma}{2}tg\frac{\beta}{2}}{tg\frac{\gamma}{2}+tg\frac{\beta}{2}}[/tex], откъдето имаме [tex]tg\frac{\alpha}{2}[/tex].
сега в триъгълник AIN: [tex]tg\frac{\alpha}{2} = \frac{4.5}{y}[/tex]=>y

[straight_sh]

Имаше една зависимост, за страните на остроъгълен триъгълник , но не се сещам как беше точно. Може ли с нея да се реши задачата?

[martin123456]

не

[straight_sh]

А, чрез височините?

[martin123456]

може сигурно, но няма да е по лесно или с по-малко сметки

[straight_sh]

Благодаря ти. Аз питам, защото ми е интересно, дали има и други начини.

[martin123456]

ами разбира се, има, но не по различни
например с височинта от А, лицето е 6h. трябва да наметриш мин h.

[ganka simeonova]

нека допирните точки на вписаната окръжност с CB, AB, AC са съответно M,N,P. нека CM=x=PC, MB=12-x=NB и AN=y. целта е да изразим y чрез x, за да можем да приложим S=pr=4.5p=4.5(24+2y) и вече да видим къде е минимумът.

[tex]tg\frac{\beta}{2}=\frac{4.5}{12-x}[/tex], [tex]tg\frac{\gamma}{2}=\frac{4.5}{x}[/tex]
[tex]tg\frac{\alpha}{2}=tg(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma+\beta}{2})=cotg(\frac{\gamma+\beta}{2})=\frac{1}{tg(\frac{\gamma+\beta}{2})}=\frac{1-tg\frac{\gamma}{2}tg\frac{\beta}{2}}{tg\frac{\gamma}{2}+tg\frac{\beta}{2}}[/tex], откъдето имаме [tex]tg\frac{\alpha}{2}[/tex].
сега в триъгълник AIN: [tex]tg\frac{\alpha}{2} = \frac{4.5}{y}[/tex]=>y

[martin123456]

?

[ganka simeonova]

?

Или намери най- малкото лице, или престани да пишеш глупости!

[martin123456]

не пиша глупости, освен че [tex]p=\frac{P}{2}[/tex], a съм ползвал [tex]P[/tex].
и не ми харесва "престани": все едно редовно пиша глупости

[martin123456]

[tex]tg\frac{\beta}{2}=\frac{4.5}{12-x}[/tex], [tex]tg\frac{\gamma}{2}=\frac{4.5}{x}[/tex]
[tex]tg\frac{\alpha}{2}=tg(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma+\beta}{2})=cotg(\frac{\gamma+\beta}{2})=\frac{1}{tg(\frac{\gamma+\beta}{2})}=\frac{1-tg\frac{\gamma}{2}tg\frac{\beta}{2}}{tg\frac{\gamma}{2}+tg\frac{\beta}{2}}[/tex], откъдето имаме [tex]tg\frac{\alpha}{2}[/tex].
сега в триъгълник AIN: [tex]tg\frac{\alpha}{2} = \frac{4.5}{y}[/tex]=>y[/quote]
[tex]tg\frac{a}{2}=\frac{1-\frac{(4.5)^2}{x(12-x)}}{\frac{4.5}{x}+\frac{4.5}{12-x}}=\frac{x(12-x)-(4.5)^2}{4.5(12-x)+4.5x}[/tex]
=>[tex]y=\frac{4.5}{tg\frac{a}{2}}=\frac{(4.5)^212}{x(12-x)-(4.5)^2}[/tex]
търсим мин на [tex]4.5*24+9y[/tex], т.е. мин на [tex]y[/tex], т.е. макс на [tex]x(12-x)[/tex], което има 1ва производна [tex]12-2x[/tex], аналурираща се в 6, растяща преди 6, намаляваща след. значи макс в 6, което е 36.
значи мин лице е [tex]108+\frac{9*243}{15.75}[/tex]
делено на 2

[ganka simeonova]

Къде си отчел, че триъгълникът е остроъгълен?

[martin123456]

Не съм

[martin123456]

но и не викждам какъв е проблемът. кажи

[straight_sh]

Това, че триъгълника е остроъгълен няма никакво отношение към задачата. Дадено е, защото в другите подточки се търсят тригонометрични ф-и на ъглите. Така че няма проблем, че не го е отчел.

[martin123456]

а тя даже гласува отрицателно за мен, заради тази задача

[estoyanovvd]

Ганка е абсолютно права!!! Така както е дадено в условието, че триъгълникът е остроъгълен е необходимо да докажете, че минимумът се достига за остроъгълен триъгълник. Това в случая наистина е така, защото се получава бедро 10 и ъгълът при В е остър. Но ако бяха дадени други стойности за АС и радиусът, можеше и да не се получи. За това съвет от мен: или махайте остроъгълен от условието, или се извинете на г-жа Симеонова, защото в този си вид задачата не е довършена!

[martin123456]

само че не са други стойностите. за тези като проверих си е остроъгълен. задачата се довършва така: проверяваме че е остроъгълен, остроъгълен е => ок

[estoyanovvd]

Така де, но да пишете, че това че е остроъгълен няма никакво отношение към задачата си е пълна глупост! Става въпрос за човека, пуснал задачата. А ти му пригласяше.

[martin123456]

напротив, такава задача си е пълна
ето ми логиката: задачата + остроъгълен <=> решаване на задачата без отчитане че е остроъгълен
1) има един такъв триъгълник => проверка остроъгълен ли е
1.1) да, значи ок
1.2) не, значи тъй като критерят за остроъгълен е строго неравенство, то можем да се доближаваме до мин, но не и да го достигаме
2) има няколко такива
...

[estoyanovvd]

Върни се там, където си написал нещо като решение и виж, че въобще и дума не става дали триъгълникът е остроъгълен!!! И защо изключваш възможността отговорът да е: няма минимално лице? Става въпрос за други стойности.

[martin123456]

не бях се поинтересувал дали е остроъгълен. после проверих дали е и видях че е . това за мен приключи спора, понеже щом е намерено мин лице + удовлетворява цялото условие (след проверката че е остроъгълен), значи това е решение

[estoyanovvd]

За втори път пиша, да така е! Въпросът е, че ти не искаш да си признаеш грешката.