Лице на вдлъбнат четириъгълник

[KOPMOPAH]

Вдлъбнат четириъгълник.png (19.96 KiB) Прегледано 2785 пъти

Да се намери лицето на четириъгълника $ABCD$.

Скрит текст: покажи

Отг. $1 \,cm^2$
Задачата е лесна, търсят се елегантни решения

[Davids]

$S_{ABCD} = S_{ACB} - S_{ACD} = \frac{AC.h_{ACB}}{2} - \frac{AC.h_{ACD}}{2} = \frac{AC}{2}(h_{ACB} - h_{ACD}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{5}{2}\sqrt{2} - \frac{3}{2}\sqrt{2}) = 1$

По-елегантно май не мога

[peyo]

Задачата е лесна, търсят се елегантни решения

Тогава да я решим без да смятаме:

gridplochki1.png (380.07 KiB) Прегледано 2771 пъти

Виждаме, че формата на този четириъгълник (плочка) е такава, че можем да покрием цялата равнина плътно с тези плочки, като ги редуваме веднъж нагоре, веднъж надолу.

И сега прави ни впечатление че всяка нова плочка слагаме на разстояние един квадрат от някоя стара. Тоест със всяка нова плочка напредваме един квадрат в някоя посока. Значи една плочка има площ 1.

[S.B.]

Без заглавие (3).png (522.21 KiB) Прегледано 2770 пъти

Според моя чертеж:
[tex]S_{ABCD } = 2.[S_{MBP } - (S_{MAB } + S_{APD })] = 2.[\frac{3^{2}}{2} - (\frac{2.3}{2} + \frac{1.2}{2})] = 2.[ \frac{9}{2} - (3 + 1)] = 2[ \frac{9}{2} - 4] = 2.\frac{9 - 8}{2} = 1[/tex]

Скрит текст: покажи

Строго съм спазила мерната единица,която е задал KOPMOPAH на чертежа си!

[KOPMOPAH]

Тогава да я решим без да смятаме:

Виждаме, че формата на този четириъгълник (плочка) е такава, че можем да покрием цялата равнина плътно с тези плочки, като ги редуваме веднъж нагоре, веднъж надолу.

И сега прави ни впечатление че всяка нова плочка слагаме на разстояние един квадрат от някоя стара. Тоест със всяка нова плочка напредваме един квадрат в някоя посока. Значи една плочка има площ 1.

Точка за оригинален подход. Не съм сигурен във верността на твърдението в последния абзац относно напредването. Използвай Hide в GeoGebra, за да не се претрупва чертежът

[peyo]

И сега прави ни впечатление че всяка нова плочка слагаме на разстояние един квадрат от някоя стара. Тоест със всяка нова плочка напредваме един квадрат в някоя посока. Значи една плочка има площ 1.

Точка за оригинален подход. Не съм сигурен във верността на твърдението в последния абзац относно напредването. Използвай Hide в GeoGebra, за да не се претрупва чертежът

Намерих начин да махна буквите. Сега е по-добре.

Може би твърдението ми наистина не е особено очевидно. Може би ще успея да докажа по-общо подобно твърдение. Трябва да помисля.

gridplochki2.png (297.48 KiB) Прегледано 2761 пъти

[KOPMOPAH]

Ако използваме малко известния (и лесно доказуем при необходимост) факт, че на ВСЕКИ (а не само на изпъкналия) четириъгълник с перпендикулярни диагонали лицето е равно на полупроизведението на диагоналите и съобразим, че в случая диагоналите $AC=BD=\sqrt 2$ са перпендикулярни, ще получим съвсем бързо отговора.

[peyo]

Не съм сигурен във верността на твърдението в последния абзац относно напредването.

Може би твърдението ми наистина не е особено очевидно. Може би ще успея да докажа по-общо подобно твърдение. Трябва да помисля.

Добре, мисля че вече имам доказателство, че лицето е 1 както следва:

Разглеждаме покриването на цялата равнина с два вида плочки, в диагонали надолу сини и нагоре червени по следния начин:

gridplochki3(2).png (187.13 KiB) Прегледано 2725 пъти

И виждаме , че може да покрием цялата равнина като разширяваме диагоналите нагоре и надолу и долепяме нови сини диагонали до червени и обратно.

Забелязваме, че точките А и точките B ще покрият всички ъгли на квадратите на координатната система без пропуски, като всяка нова плочка покрива точно един ъгъл в точките А или B.

И така сега една квадратна повърхнина със страна n ще има лице:

$S = n^2$

За плътното покритие на тази повърхнина ще ни трябват най-много P плочки:
$P = (2 + n + 2)^2 = n^2 + 8n + 16$

И така точното лице на една плочка ще е средното лице при n клонящо към безкрайност:

[tex]S_p = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 8n + 16} = 1[/tex]

По същия начин мисля, че можем да докажем следното по-силно твърдение:

Твърдение 1:
Ако плочка с каква да е форма може да покрие плътно цялата равнина и можем да идентифицираме един ъгъл на плочката като А и този ъгъл А покрива всички квадрати на координатната система, тогава площта на плочката е площта на този квадрат.

[ptj]

Когато основата на триъгълник е фиксирана, като движим 3-тия връх по права успоредна на основата лицето не се променя.

Тогава като вземем за основа [tex]BD[/tex], може да преместим [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] до получаване на квадрат със страна 1 без да се променя лицето на началната фигура.

[Vurbaninator]

Става с формулата на Пик.

[Gruicho]

Става с формулата на Пик.

... Каквото и да значи...
Малко повече?

[ptj]

Преди години я търсих точно преди едно състезание по информатика. Имаше изтиане на информация, че едната задача се решава само с нея.

[KOPMOPAH]

Става и с формулата на Пик, което е най-често използваният метод при решаване на задачи от фигури, разположени върху квадратна мрежа.$$S=\frac M2+N-1,$$където $S$ е лицето на фигурата, $M$ е броят възли по контура на фигурата, включително и върховете, а $N$ е броят на възли вътре във фигурата.
Под възли се разбират точките с целочислени координати. В случая $N=4$, $M=0$ и $S=\frac 42+0-1=1$