Да се намери периметърът на другия триъгълник

[deca]

Периметърът на правоъгълен триъгълник ABC е 10 см. Височината CD към хипотенузата го разделя на два триъгълника, като периметърът на единия от тях е 6 см. Да се намери периметърът на другия триъгълник.

Малко помощ? Някакви насоки? Благодаря!

[Евва]

Добре ще е да дадеш насоки за нас .
За кой клас е задачата
8 см. ли е отговора ?

[S.B.]

Без заглавие - 2020-03-14T105841.584.png (99.15 KiB) Прегледано 1730 пъти

Периметърът на правоъгълен триъгълник ABC е 10 см. Височината CD към хипотенузата го разделя на два триъгълника, като периметърът на единия от тях е 6 см. Да се намери периметърът на другия триъгълник.

Малко помощ? Някакви насоки? Благодаря!

Нека [tex]\angle A = \alpha , AB = c[/tex]

$\begin{array}{|l} AD + CD + AC = 6 \\ AB + AC + BC = 10 \end{array}$

От $ \triangle ABC \rightarrow BC = c.sin\alpha , AC = c.cos\alpha$
От $\triangle ADC \rightarrow AD = AC.cos\alpha = c.cos^{2}\alpha , CD = AC.sin\alpha = c.cos\alpha.sin\alpha$
От $\triangle DBC \rightarrow DB = BC.sin\alpha = c.sin^{2}\alpha$
Замествам в системата и получавам:
$\begin{array}{|l} c.cos^{2}\alpha + c.sin\alpha.cos\alpha + c.cos\alpha = 6\\ c + c.sin\alpha + c.cos\alpha = 10\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} c.cos\alpha(cos\alpha + sin\alpha + 1) = 6\\ c(1 + sin\alpha + cos\alpha) = 10 \end{array}$
Деля почленно и след съкращаване получавам :
$cos\alpha = \frac{3}{5}$ , съответно $sin\alpha = \frac{4}{5}$
Замествам във второто уравнение : $ c ( 1 + \frac{3}{5} + \frac{4}{5}) = 10 \Leftrightarrow c.\frac{12}{5} = 10 \Rightarrow c = \frac{25}{6}$
$BC = c.sin\alpha = \frac{25}{6}.\frac{4}{5} = \frac{10}{3} , CD = c.sin\alpha.cos\alpha = \frac{25}{6}.\frac{4}{5}.\frac{3}{5} \Rightarrow CD = 2$
$DB = c.sin^{2}\alpha = \frac{25}{6}.\frac{16}{25} = \frac{8}{3}$
$P_{DBC } = DB + DC + CB = \frac{8}{3} + 2 + \frac{10}{3} = \frac{24}{3} = 8$ $$P_{DBC } = 8$$

[Евва]

( 2 начин) Да означим:
[tex]S_{1 }[/tex] ,[tex]P_{1 }[/tex]-лице и обиколка на [tex]\triangle[/tex]DBC
[tex]S_{2 }[/tex] ,[tex]P_{2 }[/tex]-лице и обиколка на [tex]\triangle[/tex] ADC
S ,P- лице и обиколка на [tex]\triangle[/tex]ABC

[tex]\triangle[/tex]DBC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{S_{1 }}{S}[/tex]=[tex]\frac{P_{1 }^{2}}{P^{2}}[/tex] т.е. [tex]S_{1 }[/tex]=[tex]\frac{9S}{25}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]ADC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]ABC (1признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{S_{2 }}{S}[/tex] =[tex]\frac{P_{2 }^{2}}{P^{2}}[/tex] т.е. [tex]S_{2 }[/tex]=[tex]\frac{SP_{2 }^{2}}{100}[/tex] (2)

Знаем,че: [tex]S_{1 }[/tex]+[tex]S_{2 }[/tex]=S

[tex]\frac{9S}{25}[/tex]+[tex]\frac{SP_{2 }^{2}}{100}[/tex]=S | .[tex]\frac{100}{S}[/tex][tex]\ne[/tex]0

36+[tex]P_{2 }^{2}[/tex]=100

[tex]P_{2 }[/tex]=[tex]\sqrt{64}[/tex]= 8 см.

[deca]

Благодаря Ви ! Невероятни сте!