Успоредник, ъглополовящите му образуват 4ъгълник S=?

[ismarti]

Здравейте, тази задача я мисля цял ден, но не успях да я реша. Задачата е от "Матура за отличен":
Даден е успоредник със страни а и b (a>b) и остър ъгъл 2\alpha . Да се намери лицето на четириъгълника с върхове пресечните точки на ъглополовящите на вътрешните ъгли на успоредника. Отг: [(a-b)^2.sin2\alpha ]/2

chertej.png (37.9 KiB) Прегледано 1508 пъти

Ето ми го чертежа. Общо взето виждам, че имам много еднакви триъгълници, на които мога да им намеря лицето. Но от всичко изписано, стигнах до извода, че ми трябва лицето на B1A1M. Но за него нищо не знам. Знам, че е подобен на други триъгълници, на които знам лицето, но не мога да намеря коефициента на подобие...

[Martin Nikovski]

Търсиш лицето на четириъгълника, образуван от пресичането на четирите ъглополовящи (2 по 2)... На чертежа изглежда като правоъгълник...

[L.e.o]

Пресечните на ъглополовящите със страните на успоредника образуват равнобедрени триъгълници със страни b.
Ъглополовяща от върха на равнобедрен тригълник е и височина => образува прав ъгъл при пресичането си с основата.
Следователно, успоредника заграден от 4те ъглополовящи е правоъгълник.

След проста аритметика следва:
y = (a-b)sin?
x = (a-b)cos?
[tex]S=xy = \frac{(a-b)^{2}sin(2\alpha) }{ 2}[/tex]

[ismarti]

Благодаря ви. Всъщност всичко ми беше наред, само не се сетих как да изразя страната на двата най-малки триъгълника... Груба и тъпа грешка...
Мерси за помощта