Триъгълник с две лица

[ToZero]

Даден е $\triangle ABC$ с описана окръжност $\Gamma$, ортоцентър $H$, център на вписаната окръжност $I$ и среди $M_b, M_c$ съответно на страните $AC, AB$. Точка $D$ е пресечна точка на $AI$ и $BC$, а $E$ - на $AI$ и $\Gamma$. Ако се знае, че $\angle BAH = \angle HAI$, то да се докаже, че лицата на триъгълниците $DCM_b$ и $BEM_c$ са равни.

[KOPMOPAH]

Триъгълник с две лица.png (20.37 KiB) Прегледано 105 пъти

Щом $AH$ е и височина, и ъглополовяща за $\triangle ABD$, значи той е равнобедрен и $AB=AD$.

Правата $AI$ е ъглополовяща, значи $\measuredangle BAE=\measuredangle EAC$. От своя страна $\measuredangle BEA=\measuredangle BCA$, защото им съответства една и съща дъга $BA$.

Жълтите триъгълници са еднакви по втори признак (естествено, че и третите им ъгли също са равни ), следователно лицата им са равни. А лицето на всеки от зелените е половината от лицето на съответния жълт триъгълник.

[KOPMOPAH]

Половините на всеки от еднаквите жълти триъгълници $\triangle BAE$ и $\triangle DAC$ са скрити от зелените, но мисля, че идеята е ясна.