Нови две лица

[ToZero]

Даден е $\triangle ABC$ с ортоцентър $H$, център на вписаната окръжност $I$ и среди $M_a, M_b, M_c$ съответно на страните $BC, CA, AB$. Точка $D$ е пресечна точка на $AI$ и $BC$, точка $H_a$ е пресечна точка на $AH$ и $BC$. Ако се знае, че $\angle BAH = \angle HAI$, то да се докаже, че лицата на триъгълниците $DCM_b$ и $AH_aM_a$ са равни.

[Гост]

Screenshot_1.png (29.95 KiB) Прегледано 116 пъти

[Евва]

Ето една идея и от мен :
Да означим [tex]H_{a }[/tex]D=y ,D[tex]M_{a }[/tex]=x и A[tex]H_{a }[/tex]=h .
Нека [tex]M_{b }[/tex]P е височина в [tex]\triangle[/tex]DC[tex]M_{b }[/tex]
т.Н -ортоцентър значи A[tex]H_{a }[/tex] е височина в [tex]\triangle[/tex]BDA
[tex]\angle[/tex]B[tex]H_{a }[/tex]A =[tex]\angle[/tex]D[tex]H_{a }[/tex]A =90[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]B[tex]H_{a }[/tex]A[tex]\cong \triangle[/tex]D[tex]H_{a }[/tex]A по 2 признак [tex]\Rightarrow[/tex] B[tex]H_{a } =DH_{a }[/tex]= y
т. [tex]M_{a }[/tex] -среда на отс. BC значи [tex]M_{a }[/tex]C =2y+x
[tex]M_{b }[/tex]P е средна отсечка в [tex]\triangle H_{a }[/tex]CA [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]M_{b }[/tex]P =[tex]\frac{h}{2}[/tex]

[tex]S_{A H_{a } M_{a } }[/tex]= [tex]\frac{ H_{a } M_{a } .A H_{a } }{2} = \frac{(x+y)h}{2}[/tex]

[tex]S_{DC M_{b } }[/tex]= [tex]\frac{DC . M_{b }P }{2} = \frac{(2x+2y) \frac{h}{2} }{2}[/tex]= [tex]\frac{(x+y)h}{2}[/tex]