Една задача от Геометрия(Планиметрия) и една от Алгебра

[Гост]

4a1fc475-832a-446e-ab95-0c9c64ef0174.jpg (20.76 KiB) Прегледано 126 пъти

[Гост]

6.)

$\overline{aabb}=100.\overline{aa}+\overline{bb}=100.11.a+11.b=11(100a+b)$

$\overline{aabb}$ - точен квадрат $\Rightarrow 11$ дели $100a+b (11|(100a+b))\Rightarrow(11|(99a+a+b))\Rightarrow(11|(a+b))$

Но $1\leq a\leq9$ и $1\leq b\leq9\Rightarrow a+b=11 (a=t, b=11-t, t\in[1,9])$

$\overline{aabb}=11(100t+11-t)=11(99t+11)=121(9t+1)=n^2$

$9t+1=m^2,t\in[1,9],m\in\mathbb{N}$

$t=7, m=8$ - намира се с непосредствена проверка на деветте стойности за $t$ - само при $t=7\Rightarrow9t+1$ - точен квадрат.

$\overline{aabb}=121m^2=88^2=7744$

$7+4+88=99$

[Darina73]

5. [tex]S_{ABCD }[/tex] =?
Забелязваме ,че [tex]S_{PCD } =S_{BCD }[/tex] (1)

Скрит текст: покажи

Имат една и съща страна CD и равни височини BC=PH .

Ползваме ,че [tex]S_{QCD } =S_{QCD }[/tex] (2)
От (1) вадим (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{PQD } =S_{QBC }[/tex]
Hека [tex]S_{PQD } =S_{QBC } =S_{1 }[/tex] (3) и [tex]S_{QCD } =S_{2 }[/tex] (4)

[tex]S_{ABD } =S_{BCD }[/tex] тъй като ABCD е правоъгълник
16+[tex]S_{1 }[/tex]+9=[tex]S_{1 } +S_{2 }[/tex] ;[tex]S_{2 }[/tex]= 25 (5)
По 1 признак [tex]\triangle[/tex]PBQ[tex]\approx \triangle[/tex]CDQ [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{ S_{PBQ } }{ S_{CDQ } }= \frac{ PB^{2 } }{ CD^{2 } } ; \frac{9}{25}= \frac{ PB^{2 } }{ CD^{2 } } ; \frac{PB}{CD} =\frac{3}{5}[/tex]

Нека PB=3x и CD=5x (6),тогава AP=AB-PB= CD-PB=5x-3x=2x ; AP=2x (7)
[tex]S_{APD }[/tex]=16
[tex]\frac{AP.AD}{2}[/tex]=16 ; [tex]\frac{2x.AD}{2}[/tex]=16 ;AD=[tex]\frac{16}{x}[/tex] (8)

[tex]S_{ABCD }[/tex]=CD.AD (виж (6) и (8))
[tex]S_{ABCD }[/tex]=5x.[tex]\frac{16}{x}[/tex] =80

[Гост]

Благодаря много на Darina73 за отделеното време! Само на (2) мисля, че е допусната неточност ,написано е че лицето на триъгълник QDC е равно на лицето на същият триъгълник.
И още нещо да попитам, може ли тази задача да се реши със знания за 7 клас, тъй като и аз не знаех за кой клас е задачата(случайно ми попадна), но по-късно видях същата задача в друг форум и там бе уточнено , че задачата трябва да се реши със знания 5-7 клас.

[Гост]

Благодаря много на Darina73 за отделеното време! Само на (2) мисля, че е допусната неточност ,написано е че лицето на триъгълник QDC е равно на лицето на същият триъгълник.
И още нещо да попитам, може ли тази задача да се реши със знания за 7 клас, тъй като и аз не знаех за кой клас е задачата(случайно ми попадна), но по-късно видях същата задача в друг форум и там бе уточнено , че задачата трябва да се реши със знания 5-7 клас.

Всъщност, след като разгледах цялото решение на задачата ми стана ясно, че грешка в израз (2) няма!!! Още веднъж много благодаря за решението и отделеното време от Darina 73 и ако може да отговори на втория ми въпрос, дали е възможно геометричната задача да се реши със знания за 5-7 клас!

[Гост]

6.)

$\overline{aabb}=100.\overline{aa}+\overline{bb}=100.11.a+11.b=11(100a+b)$

$\overline{aabb}$ - точен квадрат $\Rightarrow 11$ дели $100a+b (11|(100a+b))\Rightarrow(11|(99a+a+b))\Rightarrow(11|(a+b))$

Но $1\leq a\leq9$ и $1\leq b\leq9\Rightarrow a+b=11 (a=t, b=11-t, t\in[1,9])$

$\overline{aabb}=11(100t+11-t)=11(99t+11)=121(9t+1)=n^2$

$9t+1=m^2,t\in[1,9],m\in\mathbb{N}$

$t=7, m=8$ - намира се с непосредствена проверка на деветте стойности за $t$ - само при $t=7\Rightarrow9t+1$ - точен квадрат.

$\overline{aabb}=121m^2=88^2=7744$

$7+4+88=99$

Благодаря за решението и отделеното време!!!!

[Darina73]

Нека решението е същото ,докато получим [tex]S_{QCD } =S_{2 }[/tex]= 25 .
Нека QE е височината в [tex]\triangle[/tex]QCD .
Да означим CD=a ,AD=b и височината в [tex]\triangle[/tex]PBQ е QF=c .

[tex]S_{APD }= 16 ; \frac{b.AP}{2}=16 ;AP= \frac{32}{b}[/tex]

[tex]S_{QCD }=25 ; \frac{a.QE}{2}=25 ;QE= \frac{50}{a}[/tex]

[tex]S_{PBQ }=9 ; \frac{c.PB}{2}=9 ; PB= \frac{18}{c}[/tex]

AP+BP=CD т.е. [tex]\frac{32}{a} +\frac{18}{c} =a[/tex]

QF+QE=AD т.е. c+[tex]\frac{50}{a}[/tex]=b

c=[tex]\frac{18b}{ab-32}[/tex] и c=[tex]\frac{ab-50}{a}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{18b}{ab-32} =\frac{ab-50}{a}[/tex]

ab.ab-50ab-32ab+1 600=18ab
S.S-100S+1 600 =0
S.S-80S-20S+(-80)(-20) =0
S(S-80)-20(S-80) =0
[S-80][S-20] =0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABCD }[/tex]=80 ,или [tex]S_{ABCD }[/tex]=20

Не е възможно [tex]S_{QCD }=25 >S_{ABCD }[/tex]=20 ,остава отговор [tex]S_{ABCD }[/tex]= 80