Хубава задача - Да се докаже, че триъгълникът е равностранен

[ganka simeonova]

Натъкнах се на нея в един друг форум, но я пускам тук, защото много ми хареса:)
Лицето на триъгълник е [tex]\sqrt{3}[/tex], периметърът му е [tex]6[/tex].
Да се докаже, че триъгълникът е равностранен.

[ptj]

Много е лесна.

[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
[tex]\sqrt{3} =\sqrt{3(3-a)(3-b)(3-c)}[/tex] =>[tex](3-a)(3-b)(3-c)=1[/tex]
Прилагаме неравенство на Коши-Бунейковски между средно-аритметично и средно-геометрично:

[tex]\frac{(3-a)+(3-b)+(3-c)}{3 }\ge\sqrt[3]{(3-a)(3-b)(3-c)}[/tex].

Лявата страна на последното е точно 1, защото [tex]a+b+c=6[/tex], т.е. равенство се достига само когато [tex]a=b=c[/tex].

[ganka simeonova]

[kucheto]

С това неравенство на Коши-Буйнековски може ли да се докаже, че по даден периметър, триъглник достига най-голямо лице ако е равностранен, от което да се изведе, че [tex]S\le \frac{p^2\sqrt{3}}{9}[/tex] за всеки триъгълник?

[ganka simeonova]

С това неравенство на Коши-Буйнековски може ли да се докаже, че по даден периметър, триъглник достига най-голямо лице ако е равностранен, от което да се изведе, че [tex]S\le \frac{p^2\sqrt{3}}{9}[/tex] за всеки триъгълник?

Куче, да:)
И това според мен е сентенцията!