Намиране на лице и радиус на триъгълник

[sisoko15]

Здравейте! Даден е триъгълник ABC - остроъгълен. CD е височина (D лежи на АВ). [tex]\frac{S_{ACD}}{S_{BCD}}=\frac{2}{5}[/tex], [tex]\angle ACB=60^\circ[/tex] и BC=a. Намерете [tex]S_{ABC}[/tex] и R на описаната около АВС окръжност?
Аз получавам [tex]S=\frac{a^2\sqrt{3}}{5}[/tex] и [tex]R=\frac{a\sqrt{7}}{5}[/tex]. Вярно ли е и ако може някой да даде насока за по-кратко решение, защото моето е твърде дълго?

[mkmarinov]

Ако се намерят другите 2 ъгъла на триъгълника, задачата става елементарна.
[tex]\alpha + \beta = \frac{2\pi}{3}[/tex]
[tex]\frac{tg \alpha}{tg \beta}=\frac{CD}{AD}.\frac{BD}{CD}=\frac{BD}{AD}=\frac{S_{BCD}}{S_{ACD}}=\frac{5}{2}[/tex]
=> [tex]\frac{tg \alpha}{tg (\frac{2\pi}{3}-\alpha )}=\frac{5}{2}[/tex]
[tex]2tg\alpha = 5 tg(\frac{2\pi}{3}-\alpha)=5 \frac{tg \frac{2\pi}{3}-tg \alpha}{1+tg \alpha tg \frac{2\pi}{3}}[/tex]
[tex]2tg\alpha (1+tg \alpha (-\sqrt{3}))=5(-\sqrt{3}-tg\alpha)[/tex]
[tex]-2\sqrt{3}tg^2 \alpha+7 tg \alpha+5\sqrt{3}=0[/tex]
[tex]D=169=13^2; tg\alpha = \frac{-7 \pm 13}{-4\sqrt{3}}[/tex]
[tex]tg \alpha_1=\frac{5}{\sqrt{3}}; tg\alpha_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Но алфа е остър ъгъл => [tex]tg\alpha = \frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex]. От основно тригонометрично тъждество => [tex]\sin\alpha=\frac{5}{2\sqrt{7}}[/tex].
От синусова теорема: [tex]\frac{BC}{\sin\alpha}=2R => R=\frac{a}{2sin\alpha}=\frac{a\sqrt{7}}{5}[/tex].
За лицето: [tex]S=2R^2 sin\alpha sin\beta sin\gamma = 2R^2 sin\alpha sin\gamma sin(\alpha + \gamma)=\\=\frac{14a^2}{25}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{5}{2\sqrt{7}}.(\frac{5}{2\sqrt{7}}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.\frac{\sqrt{3}}{2})=\\=a^2\frac{7 \sqrt{3}}{10\sqrt{7}}.\frac{8}{4\sqrt{7}}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{5}[/tex]

Като се пропусне техническата част е кратко!

[ganka simeonova]

Един по- лек вариант без тригонометрия
Означаваме:
[tex]CD=h; AD=2x; BD=5x; AC=y[/tex]

[tex]\Delta ADC=>h^2+4x^2=y^2[/tex](1)
[tex]\Delta BDC=>h^2+25x^2=a^2[/tex](2)
[tex](2)-(1)=>21x^2=a^2-y^2[/tex](*)
COS TH [tex]\Delta ABC=>a^2+y^2-ay=49x^2[/tex](**)[/tex]
Правим с-ма от (*) и (**) и намираме х и у.
После [tex]S=\frac{1}{2 }ay.sin60^\circ[/tex] и синусова т-ма за радиуса.

[sisoko15]

Благодаря и на двамата за отговорите!