Лице на трапец ?

[stoian.m]

Здр. Нов съм във форума . Имам известни познания по математика , но и срещам затруднения . Ето къде се спъвам
ще се радвам да чуя вашите мнения относно тази задача . Благодаря на всички проявили интерес да ми помогнат .
В трапеца ABCD е вписана окръжност с център 0, която се допира до бедрото a AD в точка M. Дължините на малката основа CD и отсечките и AM MD са съответно 3 ст, 8ст и . 2cт
а) Да се намери лицето на трапеца . ABCD
б) Да се намери siny, където y е мярката на ъгъла на трапеца при върха .

[ksen_93]

Предварително се извинявам,че нямам чертеж.
Разглеждаме ▲AOМ и ▲МОD Нека ъгълът при върха А е [tex]\alpha[/tex].АО е ъглополовяща и [tex]OM \bot AD[/tex] Освен това h = 2 r ,където h e височината,а r e радиусът на вписаната окръжност.От ▲АОМ имаме [tex]\frac{MO}{MA} = tg \alpha /2 = r/8[/tex] ,a oт ▲МОD [tex]\frac{DM}{MO} = 2 / r = tg \alpha /2[/tex] Приравняваме и получаваме r=4 Toгава [tex]h=2r=8[/tex]и остава да намерим АB.Спускаме височината CH.Нека допирната точка на вписаната окръжност с AB е P , a s BC-Q.Тогава ако BQ=x BP=1+x (вижда се като спуснем и другата височина и изразим допирните отсечки) Тогава от правоъгълния BCP намираме [tex](x+1)^2 =(x-1)^2 + h^2[/tex] ,откъдето x=16 ,oткъдето AB=24.Тъй като не е казано кой от двата ъгъла трябва да се намерят,ще намерим и двата при основите,т.е. техни тригонометрични функции.За ъгъл [tex]\alpha[/tex] имаме от ▲АDD1 (D1 е петата на височината от D) [tex]sin\alpha=\frac{h}{AD } = 8/10=4/5[/tex].За ъгъл [tex]\beta[/tex] при върха B oт ▲BCP имаме [tex]sin\beta = \frac{h}{BC } = 8/17[/tex]