Лице на пресечена конична повърхнина

[nsko]

Някой знае ли формула за лице на пресечена конусна повърхнина с елипсовидна основа? Всички останали формули ги намирам, но такава не.

[kerry]

Околната повърхнина на пресечения елипсовиден конус може да се представи като разлика на два непресечени елипсовидни конуса. А сега си представи един кръгов конус (чиято околна повърхнина можеш да намериш), който го притискаме(сплескваме) от двете страни, така че той да стане елипсовиден. Ще се промени ли околната му повърхнина?

[nsko]

Дайте конкретна формула за изчисляването на такъв конус. Kак ще стане с формула за обикновен кръгов конус, като при елипсата нямаме r или D?

А сега си представи един кръгов конус (чиято околна повърхнина можеш да намериш), който го притискаме(сплескваме) от двете страни, така че той да стане елипсовиден.

Реално това не е възможно, понеже ще се получи пак някакъв вид конус, но с неравна основа увиснала в широките му страни. (Ако е трудно да си го представиш, вземи един лист и го увий на фуния, след това му изрежи долния широк край и го разтвори. Като се огледа се вижда, че основата му не е от най-правите). Така, че дефакто ще трябва да се заравни чрез отязване на увисналото, а от тук следва, че коничната повърхност на елипсовиден конус с една височина не равна на коничната повърност на кръгов конус със същата височина от физична гледна точка.

[nsko]

Явно никой не знае подобна формула.

[kerry]

Ето една на пръв поглед много по-лесна задача:

Намерете обиколката на елипса.

[kerry]

Нека полуосите на основата са a и b, а височината на конуса е h.
За да намерим околната повърхнина трябва да решим следният интеграл:

[tex]S=\frac{ab}{2} \int_0^{2 \pi}\frac{sqrt{h^2(b^2cos^2\theta+a^2sin^2\theta)+a^2b^2}}{b^2cos^2 \theta+a^2sin^2 \theta}d \theta[/tex]

[nsko]

Добре, хайде да видим дали има математици, които посещават тоя форум .

Да се намери лицето на пресечена конична повърхнина, на която височината h = 35, r = 30, a = 101, b = 64. Решението трябва да бъде изложено подробно и разяснено.

[kerry]

S=17275.793265883

А сега опитай да намериш обиколката на елипсата

[tex]\frac{x^2}{101^2}+\frac{y^2}{64^2} =1[/tex]

[nsko]

Нищо не разбирам ако S е лицето на пресечената конична повърхнина, която показах, тогава за какво е обиколката на елипсата? Искаш да ми покажеш как става ли, обоснови се пиши малко повече?

[nsko]

Ами според моите изчисления обиколката е 524,899822116425 мм.

[kerry]

Уравнението на елипсата (основата на конуса) в полярни координати е

[tex]\rho = \frac{ab}{sqrt{b^2cos^2 \theta + a^2sin^2\theta}}[/tex]

На безкрайно малък ъгъл d? съответства част от обиколката на елипсата dL

[tex]dL=\rho.d\theta[/tex]

А сега нека търсената околна повърхнина я представим като безкрайно много безкрайно малки триъгълници с основа dL и височина
[tex]\sqrt{h^2+\rho ^2}[/tex]

Лицето на един такъв (жълт) триъгълник е
[tex]dS=\frac{1}{2} \sqrt{h^2+\rho^2} dL=\frac{1}{2} \sqrt{h^2+\rho^2} \rho d\theta[/tex]

Лицето на околната повърхнина е сумата на всички тези безкрайно много на брой безкрайно малки триъгълници, докато ъгъл ? направи една пълна обиколка от 0 до 2?

[tex]S=\int_{0}^{2\pi} dS=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{h^2+\rho^2} \rho d \theta[/tex]

Остава само да заместим [tex]\rho[/tex] от първата формула и да решим интеграла с някоя компютърна програма, защото този интеграл май не може да се решава.

[kerry]

А обиколката на елипсата е

[tex]L = \int_{0}^{2 \pi} dL = \int_{0}^{2 \pi} \rho d \theta[/tex]

Като заместим [tex]\rho[/tex] получаваме интеграл, който не може да се реши. Затова за обиколка на елипса има само приблизителни формули.

[nsko]

Остава само да заместим [tex]\rho[/tex] от първата формула и да решим интеграла с някоя компютърна програма, защото този интеграл май не може да се решава.

За това ли предложи да се намери повърхнината на прав кръгов конус.

Колкото до смятането на програма аз така намерих обиколката на елипсата и познай с коя (с ексел), но интеграла ще ми дойде доста по-нагорнище.

Между другото по-рано се опитах да изчисля квадратурата на повърхнината с формула за пресечена многоъгълна пирамида, но явно резултата е крайно "приблизителен", сега ще се опитам да смятам по тези формули с ексела.

[kerry]

Аз само попитах дали ще се промени повърхнината. Някои хора не съобразиха, че ще се промени и даже ми дадоха положителен вот за този въпрос.
Програмата Excel е много хубава, но за този случай ти препоръчвам една друга програмка

http://www.speqmath.com/index.php?id=4

С формулата по-долу можеш да пресмяташ околни повърхнини на непресечени конуси.

S(a, b, h) = a*b/2*fnInt( Sqrt(h^2*b^2*(Cos(x))^2+h^2*a^2*(Sin(x))^2+a^2*b^2)/(b^2*(Cos(x))^2+a^2*(Sin(x))^2),x,0,2*Pi )

[nsko]

Аз пробвах друга Wolfram Research Mathematica v7 нищо не разбрах от нея за сега, но ще продължавам да я ровичкам.