Правоъгълен триъгълник

[math22]

даден е правоъгълен триъгълник ABC прав ъгъл при върха C медиана цм=5/2 и височина CH=12/5. Намере дължините на катетите

Намирам хипотенузата после какво да правя ??

[Добромир Глухаров]

Нека катетите са [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex], хипотенузата [tex]c[/tex], а височината към нея - [tex]h_c[/tex].
[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
[tex]2S=ab=ch_c[/tex]
Имаме система за [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex].
Можеш ли да я решиш?

[math22]

ще я решиш ли ?

[Добромир Глухаров]

[tex]\begin{array}{|c}a^2+b^2=5^2\\ab=5\cdot \frac{12}{5}=12 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|c}(a+b)^2-2ab=25\\ab=12 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|c}(a+b)^2=25+2.12=49\\ab=12 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|c}a+b=\pm 7\\ab=12 \end{array}[/tex]
Но [tex]a>0[/tex] и [tex]b>0[/tex] [tex]\Rightarrow \begin{array}{|c}a+b=7\\ab=12 \end{array}[/tex]
[tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са корени на квадратното уравнение [tex]t^2-7t+12=0,\ D=7^2-4.12=49-48=1,\ t_{1,2}=\frac{7\pm 1}{2}[/tex]
[tex]t_1=\frac{8}{2}=4,\ t_2=\frac{6}{2}=3.\ \Rightarrow[/tex] катетите са 3 см. и 4 см.