Задача от КС изпит

[cruisebg]

В остроъгълен ABC с ортоцентър H окръжността, описана около ABH минава през средите на отсечките AC и BC и има радиус с дължина 2. Намере дължините на страните на ABC.
Ако може и дадете чертеж, ще съм ви много благодарен

[martin123456]

нека [tex]\angle BAN=\alpha[/tex]. значи [tex]\frac{a}{2\sin{\alpha}}=4[/tex] от синусова т-ма за BAN, т.е. [tex]\sin{\alpha}=\frac{a}{8}[/tex].
от друга стане, прилагайки косинусова т-ма за ABN: [tex]m_a^2+c^2-2m_ac\cos{\alpha}=\frac{a^2}{4}[/tex].
аналогично [tex]m_b^2+c^2-2m_bc\cos{\beta}=\frac{b^2}{4}[/tex].
накрая, нека медицентърът е M. прилагаме косинусова т-ма за AMB: [tex]\frac{4}{9}m_a^2+\frac{4}{9}m_b^2+2\frac{4}{9}m_am_b\cos{(\alpha+\beta)}=c^2[/tex]. така имаме три уравнения за a,b,c.
сорри, но ми изглежда като мн сметки за да го сметна, а не виждам по добър ваиант

[cruisebg]

мерси, но ще я оставя няма да я решавам, адски много сметки леле... дано не ни пуснат такава задача на изпита че...

[martin123456]

ми дано
ако имам идея как да се опрости, ще ти напиша

[cruisebg]

добре

[Knowledge Greedy]

Страните са a=b=2 и c=?3 . След малко и решението

[Knowledge Greedy]

Нека К е средата на ВС, а М е средата на АС. Тогава КМ е средна отсечка и е успоредна на АВ. А това означава, че трапецът АВКМ ( - вписан в окражност) е равнобедрен. Следователно и триъгълникът АВС е също равнобедрен. Дотук а=в.
Известно е ( и лесно се доказва), че окръжността, описана около триъгълника АВН е със същия радиус, както окръжността - около АВС. Ето защо, ако означим с N диаметрално противоположната точка на Н в описаната окръжност около АВН, то триъгълниците АВС и АВN са еднакви - виж прикачения чертеж
Остана да забележим, че дъгата МН е със същата мярка, както дъгата КН и следователно
АК=в . Следователно в равнобедрения(!) трапец АNВК диагоналът NК = АВ = с. Отваря ни се възможност да използваме теоремата на Птолемей за АNВК \учи се, ако не се лъжа в 9-ти клас).
АВ.NК=АN.ВК+АК.NВ
След приведение и съкращения, получаваме [tex]c=b\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
Оттук след прилагане на две формули за лицето на триъгълника - примерно [tex]S=\frac{abc}{4R}[/tex] и [tex]S=\frac{ch_{c}}{2}[/tex] , откриваме търсените.

[cruisebg]

при мен отговора е
AB=sqrt(15), AC=BC=sqrt(10)

сега не знам дали това решение е вярно

[Knowledge Greedy]

Приятелю cruisebg ! Твоят отговор е верен. При мен двойката беше изпаднала от корена. В действителност като се рационализира, се получава [tex]c=b\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex] . Всичко останало е вярно - с малко корекции в сметките.

[cruisebg]

а малко по-подробно решение ще пуснеш ли ? адски гадна задача е

[Knowledge Greedy]

С формулата [tex]S=\frac{abc}{4R}[/tex] намираме лицето чрез страната b, а именно:
[tex]S=\frac{bbb\frac{\sqrt{6} }{2} }{4.2}[/tex].
Следователно [tex]S=\frac{b^3\sqrt{6} }{16}[/tex] (1).
Втори път изразяваме лицето, сега с формулата [tex]S=\frac{ch_{c}}{2}[/tex].
[tex]S=\frac{b\frac{\sqrt{6} }{2 } b\frac{\sqrt{10} }{4}}{2} =>S=\frac{b^2\sqrt{60} }{16}[/tex] (2) .
Тук няма да ти кажа как, с Питагоровата теорема от правоъгълния триъгълник АDС , получих
[tex]h_{c}=b\frac{\sqrt{10} }{ 4}[/tex].
Като се сравнят (1) и (2), се намира [tex]b=\sqrt{10}[/tex].
Оттук и [tex]a=\sqrt{10}[/tex], и [tex]c=\sqrt{15}[/tex] .