Лице на триъгълник и четириъгълник

[Гост]

Задача 1. Лицето на четириъгълника ABCD е S. Правите AD и BC се пресичат в т. P, а Е и F са среди на диагоналите AC и BD. Да се намери лицето на триъгълника EFP.

Задача 2. Да се докаже, че от всички четириъгълници, описани около дадена окръжност, най – малък периметър има квадратът.

Задача 3. От всички триъгълници с даден периметър да се намерят тези, които имат максимално лице.

Задача 4. В триъгълник ABC с лице S е построена отсечка AD (D е върху страната BC), която пресича медианата CP в точка О, така че |PO| : |OC|=1 : 4. Да се намери лицето на триъгълника ABD.

Задача 5. Ако ABCD е четириъгълник, за който правите AAD и BC се пресичат в точка P, правите AB и DC се пресичат в точка Q. Е е среда на AC, F е среда на BD и R е среда на PQ, то точките E, F и R принадлежат на една права.

Задача 6. Точките P и Q делят диагонала AC на успоредника ABCD на три равни части. Правите BP и BQ пресичат AD и DC съответно в точките M и N. Да се изрази лицето на триъгълника MNB чрез лицето S на успоредника.

Задача 7. Даден е квадрат ABCD. Точките P,M,H,T са среди на страните AB, BC, CD и DA. Да се докаже, че правите AH, BT, CP и DM при пресичането си образуват квадрат, лицето на който е една пета от лицето на дадения квадрат.

Задача 8. Правата, минаваща през средите на диагоналите AC и BD на четириъгълника ABCD пресича пресечницата AB в точка М и страната CD в точка N. Да се докаже, че лицето на триъгълника ABN е равно на лицето на CDM.

Задача 9. Да се намери точка от вътрешността на даден четириъгълник, такава, че отсечките от правите, съединяващи я със средите на страните на четириъгълника да делят четириъгълника на четири равни равнолицеви части.

Задача 10. Да се докаже, че в шестоъгълник с лице S винаги може да се построи диагонал, отсичащ от него триъгълник с лице по – голямо от 1.S/6.