l, h

[ganka simeonova]

За ученици:) И само за 9-класници:)
В правоъгълен триъгълник ъглополовящата и височината към хипотенузата са съответно [tex]l[/tex] и [tex]h[/tex].
Да се изрази лицето на триъгълника чрез [tex]l[/tex] и [tex]h[/tex].

[teo9898]

Построяваме [tex]LE\bot AC[/tex] и [tex]LF\bot BC[/tex]
От свойството на ъглополовящата
[tex]\Rightarrow LE=LF=x[/tex]
В четириъгълника [tex]LFCE[/tex] [tex]: \angle LFC=\angle FCE=\angle CEL=90^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow LFCE[/tex] e квадрат.[tex](LF=FC=CE=EL=x)[/tex]
Питагорова теорема за [tex]\triangle LCE(\angle LEC=90^\circ )[/tex]
[tex]LE^2+EC^2=LC^2 \Rightarrow x^2+x^2=l^2 \Rightarrow 2x^2=l^2[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2=\frac{l^2}{ 2} , x>0 \\
\Rightarrow \fbox{x=\frac{l}{ \sqrt{2} }}[/tex]
[tex]CL=l \Rightarrow \frac{LB}{ LA} =\frac{BC}{ AC}[/tex]
Нека [tex]AB=c, AC=b, BC=a, LB=m[/tex]
[tex]\Rightarrow LA=c-m \\
\Rightarrow \frac{m}{ c-m}=\frac{a}{ b} \\
bm=ac-am \\
(a+b)m=ac \\
\Rightarrow \fbox{m=\frac{ac}{ a+b} }[/tex]
Нека [tex]\angle BAC=\alpha \\[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle ABC=90^\circ -\alpha[/tex]
Разглеждаме [tex]\triangle HBC[/tex]и [tex]\triangle FBL \\[/tex]
[tex]\left.1.\angle BHC=\angle BFL=90^\circ \\ 2.\angle HBC=\angle FBL= 90^\circ -\alpha \right} \Longrightarrow^{ I \cyr{priznak}} \triangle HBC\sim \triangle FBL[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{HC}{ FL} =\frac{BC}{ BL}
\Rightarrow \frac{h}{x }=\frac{\cancel a}{\frac{\cancel ac}{a+b } }[/tex]
[tex]\frac{h}{\frac{l}{\sqrt{2} } } =\frac{a+b}{ c} \\
\frac{h\sqrt{2} }{ l} =\frac{a+b}{ c} \uparrow_^{2}
\frac{2h^2}{ l^2} =\frac{c^2+2ab}{ c^2}=1+\frac{2ab}{ c^2} \\
\frac{2h^2}{ l^2}-1=\frac{2*2S}{c^2 }\\
\frac{2h^2-l^2}{l^2 }=\frac{\cancel 4^2\frac{\cancel ch}{\cancel2 } }{ c\cancel {^2}}
\frac{2h^2-l^2}{ l^2} =\frac{2h}{c } \\
\Rightarrow \fbox{c=\frac{2hl^2}{ 2h^2-l^2}}\\
\Rightarrow S_{\triangle ABC}= \frac{ch}{ 2} =\frac{\frac{2hl^2}{ 2h^2-l^2}h }{ 2}=\frac{h^2l^2}{ 2h^2-l^2} \\
\Rightarrow \fbox{S_{\triangle ABC}=\frac{h^2l^2}{ 2h^2-l^2} }[/tex]

[ganka simeonova]

Теди, много добро решение:))
Чудесно даже, за един 9-класник:)
Искаш ли, с теб да направим нещо:)
Аз ще предложа едно по-кратко, но ти ще ми помогнеш:)
Можеш ли да изразиш само чрез катетите а и b, ъглополовящата към хипотенузата?

[teo9898]

Нека [tex]CL=l[/tex]
Построяваме [tex]LE\bot AC[/tex] и [tex]LF\bot BC[/tex]
От свойството на ъглополовящата [tex]LE=LF=h[/tex]
[tex]S_{ALC}+S_{BLC}=S_{ABC} \\
\frac{bh}{2 } +\frac{ah}{2} =\frac{ab}{ 2} \\
(a+b)h=ab \\
h=\frac{ab}{ a+b}[/tex]
Питагорова теорема за [tex]\triangle LEC[/tex]
[tex]LE^2+CE^2=CL^2 \\
2h^2=l^2 \\
l=h\sqrt{2} \\
\Rightarrow \fbox{l=\frac{ab}{ a+b} \sqrt{2}}[/tex]

[ganka simeonova]

Пракрасно:)
ХАйде да повдигнем полученото от теб равенство на квадрат...
Какво ще се получи... Помисли:)

[teo9898]

Така повдигаме на квадрат
[tex]l^2=\frac{8S^2}{ c^2+4S} \\
l^2=\frac{\cancel 8^2\frac{c^2h^2}{\cancel4 } }{ c^2+\cancel4^2\frac{ch}{\cancel2 } }\\
l^2=\frac{2c\cancel{^2}h^2}{ \cancel c(c+2h)} \\
l^2c+2hl^2=2ch^2\\
2hl^2=(2h^2-l^2)c\\
\Rightarrow \fbox{c=\frac{2hl^2}{ 2h^2-l^2} }\\
\Rightarrow S_{\triangle ABC}= \frac{ch}{ 2} =\frac{\frac{\cancel2hl^2}{ 2h^2-l^2} *h }{ \cancel2}=\frac{h^2l^2}{ 2h^2-l^2} \\
\Rightarrow \fbox{S_{\triangle ABC}=\frac{h^2l^2}{ 2h^2-l^2} }[/tex]

[ganka simeonova]

Браво, Теди!!!

[Евва]

Ето още една идея .Построяваме ъглополовяща CL=l и височина CH=h в [tex]\triangle[/tex]АВС .
Нека т.Е и т.F лежат съответно на страните АС и ВС така ,че LE[tex]\bot[/tex]AC и LF[tex]\bot[/tex]BC .
[tex]\triangle[/tex]ELC е правоъгълен и равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] CE=LE=[tex]\frac{l \sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]\triangle[/tex]LFC е правоъгълен и равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] CF=LF=[tex]\frac{l \sqrt{2} }{2}[/tex]

[tex]\triangle[/tex]ALE[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]LBF (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AE}{LF}[/tex]=[tex]\frac{EL}{BF}[/tex] ; [tex]\frac{ \frac{b}{1}- \frac{l \sqrt{2} }{2} }{ \frac{l \sqrt{2} }{2} }[/tex] = [tex]\frac{ \frac{l \sqrt{2} }{2} }{ \frac{a}{1} - \frac{l \sqrt{2} }{2} }[/tex]

Опростяваме и получаваме ab=[tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]l(a+b)
[tex](ab)^{2 }[/tex] =[tex]\frac{2}{4}[/tex][tex]l^{2 }[/tex]([tex]a^{2 }+b^{2}[/tex]+2ab)
[tex](ab)^{2 }[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]l^{2 }[/tex][tex]c^{2 }[/tex]+[tex]l^{2 }[/tex]ab
_____________________________________________
[tex]\frac{ch}{2}[/tex]=S ; c=[tex]\frac{2S}{h}[/tex]
[tex]\frac{ab}{2}[/tex]=S ; ab=2S
_____________________________________________
4[tex]S^{2 }[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex][tex]l^{2 }[/tex].[tex]\frac{4 S^{2 } }{ h^{2 } }[/tex]+[tex]l^{2 }[/tex].2S |.[tex]\frac{ h^{2 } }{2S}[/tex][tex]\ne[/tex]0

2S[tex]h^{2 }[/tex]=[tex]l^{2 }[/tex]S+[tex]l^{2 }h^{2}[/tex]

S=[tex]\frac{ l^{2 }h^{2} }{2 h^{2 }- l^{2 } }[/tex]