Един елемент от кандидатстудентска задача

[ganka simeonova]

Даден е триъгълник АВС.
Центровете на вписаната и външновписаната окръжност, допираща се до ВС са съответно [tex]O[/tex] и [tex]O_1[/tex], като [tex]OO_1=d[/tex] Ако радиусът н oписаната около АВС окр е [tex]R[/tex], a [tex]\angle BAC=\alpha[/tex],
докажете, че [tex]R=\frac{d}{4sin{\frac{\alpha }{2 } } }[/tex]

[R Flavius]

Работим при стандартни означения. [tex]O[/tex] и [tex]O_{1}[/tex] принадлежат на ъглополовящата на [tex]\angle ABC[/tex]. Нека Външновписаната окръжност се допира до АВ в т.N , а вписаната окръжност се допира до АВ в т. M. Известно е , че MB=p-b, а BN=p-c, тогава [tex]MN=a[/tex]. [tex]MNO_{1}O[/tex] е трапец с основи [tex]MO[/tex]и[tex]NO_{1}[/tex]. Нека да спуснем перпендикуляр от т. [tex]O[/tex] към [tex]NO_{1}[/tex]. Нека петата на този перпендикуляр е т. Т. Тогава [tex]\Delta OTO_{1}[/tex] е правоъгълен с ъгъл [tex]\angle TOO_{1}=\frac{\alpha }{ 2}[/tex], защото [tex]AO_{1}[/tex] е ъглополовяща. [tex]OT=a, OO_{1}=d=>cos(\frac{\alpha}{2 }) =\frac{a}{ d}[/tex]От Синусовата теорема за [tex]\Delta ABC[/tex] знаем, че [tex]a=2sin\alpha R=>d=\frac{a}{ cos(\frac{\alpha }{ 2} )}=\frac{4sin(\frac{\alpha }{2 } )cos(\frac{\alpha }{2 })R }{ cos(\frac{\alpha }{ 2})}=4Rsin(\frac{\alpha }{ 2} )=>R=\frac{d}{ 4sin(\frac{\alpha }{ 2} )}[/tex]

[ganka simeonova]

По- кратко:
Докажете че средата на ОО1, например точка Р е от описаната около АВС окр.
Тогава CP=d/2 с една син.т-ма за АРС сме готови.