Зависимост в триъгълник

[Гост]

Да се изрази [tex]a^2+b^2+c^2[/tex] чрез p,r и R при стандартните означения за триъгълник.Във стария форум видях http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2310 ,но там е доказано малко на обратно.Искам,да се покаже като се тръгне от самият израз.

[ganka simeonova]

Не винаги е удобно да се тръгне от самия израз

[Гост]

Ох надявах се да не е това отговора А кое е най-добре известното тъждество,от което може да изходим.

[Гост]

И все пак,някой няма л ида предложи друго решение?

[ganka simeonova]

Най-накрая ми остана време за форума:)
Ето моето решение:
Ще ползвам само лице на триъгълник.

[tex]p^2r^2=p(p-a)(p-b)(p-c)=>pr^2=(p-a)(p-b)(p-c)[/tex]
[tex]pr^2=p^3-p^2c-p^2b+bcp-ap^2+acp+abp-abc=p^3-p^2c-p^2b+bcp-ap^2+acp+abp-4prR[/tex]
Делим на [tex]p[/tex]=>
[tex]ab+bc+ac=r^2-p^2+(ap+bp+cp)+4Rr=r^2-p^2+2p^2+4Rr=r^2+p^2+4Rr[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=4p^2-2r^2-2p^2-8Rr=2p^2-2r^2-8Rr[/tex]