Правоъгълен триъгълник

[andromaha_7]

В триъгълник ABC ъгъл C = 90 градуса, AC = 3 см и BC = 4 см.Построена е медианата CM и в триъгълниците AMC и BMC са вписани окръжности. Да се намери разтоянието между центровете им.

[Xixibg]

Нека [tex]O_1,O_2[/tex] са центровете ,[tex]r_1 , r_2[/tex] са радиусите на вписаните окръжности , а [tex]p_1,p_2[/tex] са полу-периметрите съответно в [tex]\triangle AMC,\triangle BMC[/tex]
[tex]AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5[/tex] (Питагорова теорема)
[tex]AM=BM=CM=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}[/tex] (медиана към хипотенузата в правоъгълен триъгълник)
[tex]=>p_1=\frac{1}{2}(\frac{5}{2}+\frac{5}{2}+3)=4 ; p_2=\frac{1}{2}(\frac{5}{2}+\frac{5}{2}+4)=\frac{9}{2}[/tex]
[tex]S_{AMC}=S_{BMC}=\frac{1}{2}S_{ABC}=3[/tex]
[tex]r_1=\frac{S_{AMC}}{p_1}=\frac{3}{4} ;r_2=\frac{S_{BMC}}{p_2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}[/tex]
Нека [tex]\angle BAC=\alpha ; =>\angle AMO_1=90^\circ -\alpha ;\angle ABC=90^\circ -\alpha ; =>\angle BMO_2=\alpha[/tex]
[tex]=>\angle O_1MO_2=90^\circ[/tex]
[tex]\triangle ABC \approx \triangle O_1MA_1 ; A_1\in AB ;O_1A_1\bot AB ; O_1A_1=r_1[/tex]
[tex]\triangle ABC \approx \triangle O_2MB_1 ; B_1\in AB ;O_1B_1\bot AB ; O_2B_1=r_2[/tex]
[tex]O_1M=\frac{r_1.AB}{AC}=\frac{5}{4} ; O_2M=\frac{r_2.AB}{BC}=\frac{5}{6}[/tex]
[tex]O_1O_2=\sqrt{O_1M^2+O_2M^2}=\frac{10\sqrt{13}}{24}[/tex]