Правоъгълен триъгълник

[ronito01]

▲ABC (ъгъл C=90[tex]^\circ[/tex] )
AB=c, BC=a,AC=b
Доакажете, че :
1)(a+b+c)(a+b-c)=2ab

2)h=r+[tex]r_{1 }[/tex] + [tex]r_{2 }[/tex] ,
където h=CD-височина
r, [tex]r_{1 }[/tex] , [tex]r_{2 }[/tex] -радиусите на вписаните окръжности съответно в ▲ABC; ▲ACD; ▲BCD

[Добромир Глухаров]

[tex]1.) (a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2[/tex] - формула за съкратено умножение.

[tex](a+b)^2-c^2=a^2+2ab+b^2-c^2[/tex] - друга формула за съкратено умножение.

Но [tex]a^2+b^2=c^2[/tex] - Питагорова Теорема

Следователно [tex](a+b+c)(a+b-c)=2ab+a^2+b^2-c^2=2ab+c^2-c^2=2ab[/tex]

[tex]2.) h=r+r_1+r_2[/tex]

Правоъгълен триъгълник.png (17.64 KiB) Прегледано 389 пъти

Ще използваме формулата за радиус на вписаната в правоъгълен триъгълник окръжност, изразен чрез страните.

[tex]\Delta ABC[/tex]: [tex]r=\frac{a+b-c}{2}[/tex]

[tex]\Delta ADC[/tex]: [tex]r_1=\frac{b_1+h-b}{2}[/tex]

[tex]\Delta BDC[/tex]: [tex]r=\frac{a_1+h-a}{2}[/tex]

[tex]r+r_1+r_2=\frac{\cancel{a}+\cancel{b}-c+b_1+h-\cancel{b}+a_1+h-\cancel{a}}{2}=\frac{a_1+b_1-c+2h}{2}[/tex]

Но [tex]a_1+b_1=c\Rightarrow r+r_1+r_2=\frac{\cancel{c}-\cancel{c}+2h}{2}=h[/tex]