Страни на триъгълник

[mathinvalidnik]

Намерете страните на триъгълника ABC,ако AH=2,BH=7 и CH=11,ако H е пресечната точка на височините на триъгълника.

[martin123456]

използваме че лицето е [tex]2S=ah_a=bh_b=ch_c[/tex]. сега например косинусова т-ма за [tex]\Delta ABC[/tex] с [tex]\angle BAC=\alpha[/tex]=>[tex]\frac{4S^2}{49}+\frac{4S^2}{121}-\frac{2.4S^2}{7.11}\cos{\alpha}=\frac{4S^2}{4}[/tex]. разделяме на [tex]4S^2[/tex]=>[tex]\cos{\alpha}[/tex]. аналогично с другите косинусови т-ми => и другите косинуси.
сега отново пишем 3 косинусови т-ми, използвайки a,b,c и намерените косинуси за да получим 3 уравнения за a,b,c

[ganka simeonova]

използваме че лицето е [tex]2S=ah_a=bh_b=ch_c[/tex]. сега например косинусова т-ма за [tex]\Delta ABC[/tex] с [tex]\angle BAC=\alpha[/tex]=>[tex]\frac{4S^2}{49}+\frac{4S^2}{121}-\frac{2.4S^2}{7.11}\cos{\alpha}=\frac{4S^2}{4}[/tex]. разделяме на [tex]4S^2[/tex]=>[tex]\cos{\alpha}[/tex]. аналогично с другите косинусови т-ми => и другите косинуси.
сега отново пишем 3 косинусови т-ми, използвайки a,b,c и намерените косинуси за да получим 3 уравнения за a,b,c

Това не е вярно. В задачата са дадени не целите височини, а онези части от тях, които свързваат ортоцентъра с върховете на триъгълника.

[mathinvalidnik]

използваме че лицето е [tex]2S=ah_a=bh_b=ch_c[/tex]. сега например косинусова т-ма за [tex]\Delta ABC[/tex] с [tex]\angle BAC=\alpha[/tex]=>[tex]\frac{4S^2}{49}+\frac{4S^2}{121}-\frac{2.4S^2}{7.11}\cos{\alpha}=\frac{4S^2}{4}[/tex]. разделяме на [tex]4S^2[/tex]=>[tex]\cos{\alpha}[/tex]. аналогично с другите косинусови т-ми => и другите косинуси.
сега отново пишем 3 косинусови т-ми, използвайки a,b,c и намерените косинуси за да получим 3 уравнения за a,b,c

Това не е вярно. В задачата са дадени не целите височини, а онези части от тях, които свързваат ортоцентъра с върховете на триъгълника.

А някакви идеи как трябва да стане

[ganka simeonova]

Имам идея, но е тегава
Ще напиша решение, когато измисля нещо хубаво.

[martin123456]

да, объркал съм се
при стандартни означения за страните и ъглите имаме [tex]\angle AHB=\pi - \gamma[/tex]. аналогично за другите ъгли при H. пишем три косинусови т-ми за [tex]\Delta AHB[/tex], [tex]\Delta BHC[/tex], [tex]\Delta CHA[/tex]:
[tex]2^2+7^2+2.2.7\cos{\alpha}=c^2[/tex]
[tex]7^2+11^2+2.11.7\cos{\beta}=a^2[/tex]
[tex]2^2+11^2+2.2.11\cos{\gamma}=b^2[/tex]
=> [tex]\cos{\alpha}=-\frac{2^2+7^2-c^2}{2.2.7}[/tex], [tex]\cos{\beta}=-\frac{7^2=11^2-a^2}{2.11.7}[/tex], [tex]\cos{\gamma}=-\frac{2^2+11^2-b^2}{2.2.11}[/tex]
от косинусова т-ма за [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\angle \gamma[/tex]=>[tex]\cos{\gamma}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}[/tex], аналогично и за другите косинуси.
значи получаваме следните 3 уравнения;
[tex]-\frac{2^2+7^2-c^2}{2.2.7} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex]
[tex]-\frac{11^2+7^2-a^2}{2.11.7} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/tex]
[tex]-\frac{2^2+11^2-b^2}{2.2.11} = \frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}[/tex]

[ganka simeonova]

Мартине, ще е чудесно, ако решиш тази система!

[martin123456]

ами да, то това остана

[mathinvalidnik]

да, объркал съм се
при стандартни означения за страните и ъглите имаме [tex]\angle AHB=\pi - \gamma[/tex]. аналогично за другите ъгли при H. пишем три косинусови т-ми за [tex]\Delta AHB[/tex], [tex]\Delta BHC[/tex], [tex]\Delta CHA[/tex]:
[tex]2^2+7^2+2.2.7\cos{\alpha}=c^2[/tex]
[tex]7^2+11^2+2.11.7\cos{\beta}=a^2[/tex]
[tex]2^2+11^2+2.2.11\cos{\gamma}=b^2[/tex]
=> [tex]\cos{\alpha}=-\frac{2^2+7^2-c^2}{2.2.7}[/tex], [tex]\cos{\beta}=-\frac{7^2=11^2-a^2}{2.11.7}[/tex], [tex]\cos{\gamma}=-\frac{2^2+11^2-b^2}{2.2.11}[/tex]
от косинусова т-ма за [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\angle \gamma[/tex]=>[tex]\cos{\gamma}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}[/tex], аналогично и за другите косинуси.
значи получаваме следните 3 уравнения;
[tex]-\frac{2^2+7^2-c^2}{2.2.7} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}[/tex]
[tex]-\frac{11^2+7^2-a^2}{2.11.7} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}[/tex]
[tex]-\frac{2^2+11^2-b^2}{2.2.11} = \frac{b^2+a^2-c^2}{2ba}[/tex]

Защо при косинусовите теореми за a,b,c навсякъде е с +

[martin123456]

[tex]\cos{(\pi - \gamma)}=-\cos{\gamma}[/tex]

[mathinvalidnik]

Aха,а как ще изразя ъгъл BHC

[ganka simeonova]

Та, какво стана с решението на сладката системка?

[mathinvalidnik]

Aха,а как ще изразя ъгъл BHC

Смисъл BHC трябва да е [tex]180-(\gamma+\angle BHC')[/tex] ,Но не знам на колко трябва да е равен BHC'

[Spider Iovkov]

Всичко е на картинката. Усещаме се, че [tex]\angle AHB=\alpha+\beta[/tex]. От косинусовата теорема за [tex]\triangle ABH[/tex] имаме

[tex]AB^2=AH^2+BH^2-2.AH.BH. cos \angle AHB \Leftrightarrow (2R sin \gamma )^2 = 2^2+7^2+2.2.7. cos\gamma[/tex].

Но [tex]CH=11 \Leftrightarrow 2R cos \gamma = 11 \Leftrightarrow cos \gamma = \frac{11}{2R} \Leftrightarrow cos^2 \gamma = \frac{121}{4R^2}[/tex]. Така

[tex]4R^2 sin^2 \gamma = 4 + 49 +28 cos \gamma \Leftrightarrow 4R^2 \left ( 1 - \frac{121}{4R^2} \right ) = 53 + 28 . \frac{11}{2R} \Leftrightarrow R=7 \, (*)[/tex].

От [tex](*) \Rightarrow cos\alpha = \frac{1}{7}, \, cos\beta = \frac{1}{2}, \, cos\gamma = \frac{11}{14} \Leftrightarrow sin\alpha = \frac{4}{7} \sqrt{3}, \, sin\beta = \frac{1}{2} \sqrt{3}, \, sin\gamma = \frac{5}{14} \sqrt{3}[/tex].

С три синусови теореми определяме [tex]a=8\sqrt{3}, \, b=7\sqrt{3}, \, c=5\sqrt{3}[/tex].

[ganka simeonova]

Браво Люси Готино решение

[Spider Iovkov]

Ще използваме долната картинка, за да докажем равенствата

[tex]AH=2R cos\alpha, \, BH=2R cos\beta, \, CH=2R cos\gamma[/tex].

Ние знаем, че [tex]\angle ABK = \beta[/tex]. Но [tex]AK \bot BC[/tex], откъдето [tex]\angle BAK = 90^\circ - \beta[/tex]. По същия начин

[tex]\angle ABH = 90^\circ - \alpha[/tex].

Получаваме, че [tex]\angle AHB = 180^\circ - (90^\circ - \alpha + 90^\circ - \beta ) \Leftrightarrow \angle AHB = \alpha + \beta[/tex].

Прилагаме синусова теорема за [tex]\triangle AHB \Rightarrow \frac{AB}{sin \angle AHB} = \frac{AH}{sin \angle ABH} \Leftrightarrow \frac{c}{sin (\alpha + \beta)} = \frac{AH}{sin (90^\circ - \alpha )} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \frac{c}{sin \gamma} = \frac{AH}{cos \alpha} \Leftrightarrow \frac{AH}{cos \alpha} = 2R \Leftrightarrow AH = 2R cos\alpha[/tex].

Аналогично се доказва, че [tex]BH = 2R cos \beta[/tex] и [tex]CH = 2R cos \gamma[/tex].

[mathinvalidnik]

Всичко е на картинката. Усещаме се, че [tex]\angle AHB=\alpha+\beta[/tex]. От косинусовата теорема за [tex]\triangle ABH[/tex] имаме

[tex]AB^2=AH^2+BH^2-2.AH.BH. cos \angle AHB \Leftrightarrow (2R sin \gamma )^2 = 2^2+7^2+2.2.7. cos\gamma[/tex].

Но [tex]CH=11 \Leftrightarrow 2R cos \gamma = 11 \Leftrightarrow cos \gamma = \frac{11}{2R} \Leftrightarrow cos^2 \gamma = \frac{121}{4R^2}[/tex]. Така

[tex]4R^2 sin^2 \gamma = 4 + 49 +28 cos \gamma \Leftrightarrow 4R^2 \left ( 1 - \frac{121}{4R^2} \right ) = 53 + 28 . \frac{11}{2R} \Leftrightarrow R=7 \, (*)[/tex].

От [tex](*) \Rightarrow cos\alpha = \frac{1}{7}, \, cos\beta = \frac{1}{2}, \, cos\gamma = \frac{11}{14} \Leftrightarrow sin\alpha = \frac{4}{7} \sqrt{3}, \, sin\beta = \frac{1}{2} \sqrt{3}, \, sin\gamma = \frac{5}{14} \sqrt{3}[/tex].

С три синусови теореми определяме [tex]a=8\sqrt{3}, \, b=7\sqrt{3}, \, c=5\sqrt{3}[/tex].

А това дали ша стане ако приложиме косинусова теорема за целия тригълълник след като вече сме намерили,че [tex]cos\alpha=\frac{1}{7 },cos\beta=\frac{1}{2 },cos\gamma=\frac{11}{14 }[/tex] и сме намерили ,че [tex]R=7[/tex]

AB=c,BC=a,AC=b

[tex]\begin{tabular}{|l}a=b.cos\gamma+c.cos\beta\\c=b.cos\alpha+a.cos\beta\\b=c.cos\alpha+a.cos\gamma \end{tabular}[/tex] <=> [tex]\begin{tabular}{|l}a=b.\frac{11}{14 }+c.\frac{1}{2 }\\c=b.\frac{1}{7 }+a.\frac{1}{2 }\\b=c.\frac{1}{7 }+a.\frac{11}{14 } \end{tabular}[/tex] <=> etc........

п.п Интересно ми стана,че радиусите на окръжностите описани около AHB,BHC.CHA имат един и същ радиус R=7 ?

[ganka simeonova]

п.п Интересно ми стана,че радиусите на окръжностите описани около AHB,BHC.CHA имат един и същ радиус R=7 ?

ОЗ. 10 клас!

[mathinvalidnik]

Е,значи има някаква зависимост.Не го знаех това.
А как се доказва?
Предполагам с разглеждането на дъги [tex]\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{AH}[/tex] обща за K1 И К3 => Ъглите са равни следователно и радиусите,[tex]\stackrel{\rotatebox{90}{\Big)}}{BH}[/tex] - обща за K1 и K2=> Ъглите са равни следователно радиусите и след това от може би транзитивно свойство за радиусите следва,че радиуса на K2= радиуса на K3 ?

[mathinvalidnik]

А има ли някаква връзка между радиуса на описаните около триъгълниците AHB,BHC,AHC окръжности и радиуса на описаната около ABC Окръжност ?

[ganka simeonova]

А има ли някаква връзка между радиуса на описаните около триъгълниците AHB,BHC,AHC окръжности и радиуса на описаната около ABC Окръжност ?

Радиусите са равни!

[mathinvalidnik]

А има ли някаква връзка между радиуса на описаните около триъгълниците AHB,BHC,AHC окръжности и радиуса на описаната около ABC Окръжност ?

Радиусите са равни!

Това имах впредвид.