медиана

[lili91]

S АВС = 8 , а медианите АК , ВN , CL се пресичат в точка М , АК = 5, ВN = 4 и \angle АМВ > 90. То СL e равна на

[Flame]

S АВС = 8 , а медианите АК , ВN , CL се пресичат в точка М , АК = 5, ВN = 4 и \angle АМВ > 90. То СL e равна на

Има директна формула, която решава задачата:

[tex]S=\frac{1}{3}\sqrt{(m_a+m_b+m_c)(m_b+m_c-ma)(m_c+m_a-m_b)(m_a+m_b-m_c)}[/tex]
Малко е страховито, но се получава хубаво опростяване.
[tex]8=\frac{1}{3}\sqrt{(5+4+m_c)(4+m_c-5)(m_c+5-4)(5+4-m_c)}[/tex]
[tex]8=\frac{1}{3}\sqrt{(9+m_c)(m_c-1)(m_c+1)(9-m_c)}[/tex]
[tex]24=\sqrt{(9^2-m_c^2)(m_c^2-1^2)}[/tex]
[tex]24^2=(9^2-m_c^2)(m_c^2-1)[/tex]
[tex]24^2=-m_c^4+82m_c^2-81[/tex]
[tex]-m_c^4+82m_c^2-657=0[/tex] Полагаме [tex]m_c^2=x[/tex]
[tex]-x^2+82x-657=0 \Leftrightarrow (9-x)(73-x)=0[/tex]
След връщането от полагането получаваме:
[tex]m_c=3[/tex]
[tex]m_c=-3[/tex]
[tex]m_c=\sqrt{73}[/tex]
[tex]m_c =-\sqrt{73}[/tex]
Отрицателните са невъзможни разбира се, остават:
[tex]m_c=3[/tex]
[tex]m_c=\sqrt{73}[/tex]
Тук отчитаме условието:
[tex]\Delta AMC > 90[/tex], това е възможно само при:


[tex]m_c=3[/tex]