Една задача и от мен

[ganka simeonova]

За произволен [tex]\Delta ABC[/tex] да се докаже, че

[tex]\sqrt{3} (a+b+c)\ge 2(l_a+l_b+l_c)[/tex]

[martin123456]

Тъпо е да се пуска задача в две отделни теми.

[ganka simeonova]

Тъпо е да се пуска задача в две отделни теми.

Това ли е решението ти? Гениално е.

[martin123456]

смешка

[martin123456]

[tex]l_c=\frac{2ab\cos{\frac{\gamma}{2}}}{a+b}[/tex]
тр да док че [tex]\sum{\frac{2ab\cos{\frac{\gamma}{2}}}{a+b}} \leq \sqrt{3}\sum{a}[/tex]
[tex]\sum \frac{4ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b} \leq \sqrt{\sum\frac{16a^2b^2}{(a+b)^2}}\sum \cos^{2}\frac{\gamma}{2}[/tex] от нер коши - бунякловски
т.е. дост е да покажем че [tex]\sum\frac{16a^2b^2}{(a+b)^2}\sum\cos^{2}\frac{\gamma}{2} \leq 3(\sum{a})^2[/tex]
т.е. [tex]\frac{3(\sum{a})^2}{\sum\frac{16a^2b^2}{(a+b)^2}} \geq \sum\cos^{2}\frac{\gamma}{2}[/tex]
за лявата страна: [tex]\frac{3(\sum{a})^2}{\sum{\frac{16a^2b^2}{(a+b)^2}}} = \frac{3\sum{a^2}+6\sum{ab}}{\sum{\frac{16a^2b^2}{(a+b)^2}}} \geq \frac{3\sum{a^2}+6\sum{ab}}{\sum{4ab}} \geq \frac{9\sum{ab}}{4\sum{ab}}=\frac{9}{4}[/tex]
дясната страна: [tex]\sum\cos^{2}\frac{\gamma}{2} \leq \frac{9}{4}[/tex]: <=>[tex]\sum{cos{\gamma}} \leq \frac{3}{2}[/tex] <=> [tex]\prod{\sin{\frac{\gamma}{2}}} \leq \frac{1}{8}[/tex]. от средно геом и ср аритм нер и от вдлъбността на [tex]\sin{x}[/tex] в [tex]x \in (0,\frac{\pi}{2})[/tex] => верността му

[indy]

Първо ще докажем неравенството [tex]c \ge 2l_c \tan \frac{C}{2}[/tex].
Нека ъглополовящата CL пресича описаната окръжност в Е и нека диаметърът DE пресича АВ в М.
От очевидните неравенства CE<=DE и LE>=ME получаваме CE-LE<=DE-ME или CL<=DM (равенство само при равнобедрен).
Понеже [tex]\angle ADE=\angle ACE=C/2,[/tex] намираме[tex]CL \le AM \cot \frac {C}{2}[/tex] или [tex]c \ge 2l_c \tan \frac{C}{2}[/tex]

[indy]

От предходното следва, че [tex]a+b+c \ge 2(l_a \tan \frac{A}{2}+...+l_c \tan \frac {C}{2})[/tex] и нещо запецнах!

Мартин може да се пише с малка буква (martin12...), ама се пише Коши-Буняковски

[ubuntu]

[tex]l_{a}^2=\frac{4bc}{b^2+2bc+c^2 }.p(p-a)[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]l_{a}^2\le p(p-a)[/tex]

[tex]p^2\ge l_{a}^2+l_{b}^2+l_{c}^2\ge \frac{(l_{a}+l_{b}+l_{c})^2}{3 }[/tex]