Симетралата на BC пресича AB в точка D и лъча AC в точка M

[yasen]

За ъглите на [tex]\Delta[/tex] ABC e изпълнено [tex]\angle[/tex]А : [tex]\angle[/tex]B : [tex]\angle[/tex] C = 2:3:7. Симетралата на BC пресича AB в точка D и лъча AC в точка M. Ако точка К [tex]\in[/tex] лъча СМ и CK = CD, тo :
а)докажете, че KM = AD
б)намерете разстоянието от точка D до правата AC, ако КМ = 7 см
в)докажете, че P [tex]\Delta[/tex] DKM < P [tex]\Delta[/tex] DBM

[kmitov]

zad.png (36.41 KiB) Прегледано 612 пъти

Пресмята се, че [tex]\angle A=30^0, \ \ \angle B=45^0,\ \ \ \ \angle C=105^0[/tex]. От свойството на симетралата, CD=DB и следователно [tex]\Delta CDB[/tex] е равнобедрен правоъгълен триъгълник с [tex]\angle CDB=90^0[/tex]

По-нататък [tex]\angle ACD=60^0[/tex], и тогава [tex]\angle KCD=120^0[/tex]. Понеже триъгълника KCD е равнобедрен, то [tex]\angle CKD=\angle CDK=30^0[/tex]. Следователно триъгълникът ADK e равнобедрен АD=DK.

Намираме, че [tex]\angle KDM=\angle CDM-\angle CDK=45^0-30^0=15^0[/tex]

Но [tex]\angle CKD=\angle KDM+\angle KMD[/tex] ( външен ъгъл) Така и [tex]\angle KMD=15^0[/tex], от където следва, че триъгълника KDM е равнобедрен. Така KM=KD=AD.

Другите са лесни.