Триъгълник

[ganka simeonova]

Ето една задачка, която днес си измислих, докато се занимавах с един проблем. Нямам претенции, че е кой знае каква, но ще я пусна.

Дължините на страните на триъгълник са последователни естествени числа.
а) Да се док., че разстоянието м/у медицентъра и центъра на вписаната окръжност е равно на 1.
б) Да се намери радиуса на описаната окръжност, ако радиусът на вписаната окръжност е 4.

[dim]

Ще реша задачата по метода "първична сила" (или "тъп, но упорит")

а) Нека [tex]M[/tex]-медицентър, [tex]O[/tex]-център на описаната, [tex]O_1[/tex] -център на вписаната окръжност и нека [tex]a,b,c[/tex] са страните на триъгълника. Значи [tex]b=a+1[/tex], [tex]c=a+2[/tex]. Тогава:
[tex]r^2=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}=\frac{(a+3)(a-1)}{12}[/tex][tex](*)[/tex], където [tex]p[/tex] e полупериметъра.

От друга страна [tex]MO_1=\frac{1}{3}\sqrt{9r^2-3p^2+2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{9}{12} (a+3) (a-1)-3. (\frac{1}{2} (3 a+3))^2+2 (a^2+(a+1)^2+(a+2)^2}=[/tex]
[tex]=...=\frac{1}{3}[/tex]

б) От [tex](*)[/tex] и от [tex]r=4[/tex] =>[tex]16=\frac{(a+3)(a-1)}{12}[/tex], което има един положителен корен [tex]a=13[/tex]. От друга страна [tex]r=\frac{2S}{a+b+c}[/tex]=> [tex]2S=r(a+b+c)=4.(3a+3)=4.3.14=168[/tex]
Сега от предното и от [tex]R=\frac{abc}{4S}[/tex] =>[tex]R=\frac{13.14.15}{2.4.3.14}=\frac{65}{8}[/tex]

[ganka simeonova]

Дааа, dim, оплескала съм а) .
Не е 1.
Да променим.
а) докажете, че MO1е успоредна на средната по големина страна.
Но ми се иска тогава да докажем а) без тази метрика
И освен това: може ли да се намери връзка м/у двата радиуса, ако страните са последователни цели числа?

[dim]

Относно зависимоста м/у [tex]R[/tex] и [tex]r[/tex]:
[tex]2Rr=\frac{b^2-1}{3}[/tex], ако [tex]b[/tex] e средната по големина страна.

Идва от [tex]2Rr=\frac{abc}{a+b+c}[/tex].

[ganka simeonova]

Имам предвид връзка, в която да участват само двата радиуса