Задача с триъглник от СУ

[Vorp]

Здравейте

Имам проблем със следната задача :
В триъглника ABC са построени височините AP и BQ (като P [tex]\in[/tex] BC, Q [tex]\in[/tex] AC). Търсят се страните на триъглника, ако ъгъл BAC = 60°, ъгъл ABC = 75°и PQ = √2.

Пробвах по какви ли не начини да го направя и все не стaва... проблемът ми идва от факта ,че немога да намеря ъглите BPQ и AQP.

[Zarrie]

от т-к APC[tex]\frac{CP}{AC} = cos 45[/tex]
от т-к BQC[tex]\frac{CQ}{CB} = cos 45[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{CP}{AC}=\frac{CQ}{CB} \Rightarrow \Delta QPC \approx \Delta BAC[/tex]
[tex]\frac{QP}{AB} = cos 45 \Rightarrow AB = 2[/tex]
От т-к ABQ [tex]\angle BAC=60 \Rightarrow AQ = 1[/tex]
[tex]\angle C = 180-(60+75) = 45 \Rightarrow QC = QB = \sqrt {3}[/tex](Намираме BQ по питагорова теорема от т-к ABQ)
[tex]\Rightarrow AC = 1 + \sqrt{3}[/tex]
От т-к BQC [tex]\Rightarrow BC = \sqrt{6}[/tex]Отново от питагорова теорема.
[tex]AB = 2, AC = 1 + \sqrt{3}, BC = \sqrt {6}[/tex]
От коя година е изпита, от който си взел задачата?

[Vorp]

Много благодаря за решението.

Самата задача е от Списание Математика 2012г. ... но е за СУ... лошо съм се изразил в заглавието

[Zarrie]

Да, намерих я и аз имам списанието.
Ето решението, което те са предложили.

asd.jpg (15.68 KiB) Прегледано 460 пъти

Планираш да се явяваш на математика 2 във ФМИ ли ?

[ptj]

Не ти трябват. Нека т.[tex]O[/tex] е средата на [tex]AC[/tex].

[tex]C,P,Q,A[/tex] лежат на окръжност, в която [tex]AC=2x[/tex] е диаметър.

Дъгата [tex]PQ[/tex] има мярка 30°, защото [tex]\angle QCP=15[/tex]°.

Косинусова теорема за [tex]\Delta POQ[/tex] : [tex](\sqrt{2})^2 =x^2+x^2-2.x.x.cos {\frac{\pi }{6 }}[/tex]
[tex]x^2=\frac{2}{2-\sqrt{3} }=4+2\sqrt{3}[/tex]

Със синусова теорема за [tex]\Delta ABC[/tex]вече може да намериш и другите страни.

[Zarrie]

Q е пета на височина, а А е връх на триъгълника. Как три точки от една права ще лежат на окръжност?

[ptj]

Решавал съм задачата за височина CQ.

Но принципа е верен.

[tex]A,B,P,Q[/tex] лежат на окръжност с диаметър [tex]AB=2x[/tex].

[tex]\angle QBP=\frac{\pi }{4 } \Rightarrow[/tex] мярката на дъгата [tex]PQ=\frac{\pi }{2 }[/tex],

косинусова теорема [tex](\sqrt{2})^2=x^2+x^2-2.x.x.cos{\frac{\pi }{2 } }[/tex].
[tex]x=1[/tex], т.е. [tex]AB=2[/tex]

...

[Vorp]

Zarrie
Ами да...