2 задачи от правоъгълен триъгълник

[Henz]

Задача1 Даден е правоъгълен триъгълник ABC с прав ъгъл при върха C и център на вписаната окръжност O.Намерете дължината на страната AB и лицето на триъгълник ABC ,ако [tex]AO=\sqrt[]{5}[/tex] и [tex]BO=\sqrt[]{10}[/tex].

Задача2 Даден е правоъгълен триъгълник с катети 3 и 4 см,Намерете разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжности.

Някакви насоки,можете ли да дадете за тези задачи?

[Spider Iovkov]

Зад. 1. С [tex]J[/tex] съм означил центъра на вписаната окръжност.

Ако [tex]\angle CAJ = \angle BAJ = \frac{\alpha}{2}[/tex] и [tex]\angle CBJ = \angle ABJ = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}[/tex], то [tex]\angle AJB = 180^\circ - \angle BAJ - \angle ABJ[/tex].

Оттук получаваме [tex]\angle AJB = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - 45^\circ + \frac{\alpha}{2} \Leftrightarrow \angle AJB = 135^\circ[/tex]. Сега от [tex]\triangle ABJ[/tex]

по косинусовата теорема намираме

[tex]AB^2 = AJ^2 + BJ^2 - 2.AJ.BJ. cos \angle AJB \Leftrightarrow AB^2 = \left ( \sqrt{5} \right )^2 + \left ( \sqrt{10}\right )^2 - 2. \sqrt{5}. \sqrt{10}. cos 135^\circ \Leftrightarrow AB=5[/tex].

Като приложим синусовата теорема за същия триъгълник, достигаме до

[tex]\frac{AB}{sin \angle AJB} = \frac{BJ}{sin \angle BAJ} \Leftrightarrow \frac{5}{sin 135^\circ} = \frac{\sqrt{10}}{sin {\frac{\alpha}{2}}} \Leftrightarrow sin {\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \Leftrightarrow cos {\frac{\alpha}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \Rightarrow sin \alpha = 2 sin {\frac{\alpha}{2}} cos {\frac{\alpha}{2}} = \frac{4}{5}[/tex].

Сега [tex]sin \alpha = \frac{BC}{AB} \Leftrightarrow BC = AB sin \alpha \Leftrightarrow BC = 4[/tex], откъдето [tex]AC = 3[/tex] и [tex]S_{\triangle ABC} = \frac{3.4}{2} \Leftrightarrow S_{\triangle ABC} = 6[/tex].

[Henz]

Благодаря.

[Nemo]

Задача2 Даден е правоъгълен триъгълник с катети 3 и 4 см,Намерете разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжности.

AB = √(AC.AC+BC.BC) = 5cm ==> S=p.r = 3.4.0,5 == > r=1 R=2,5
Ако се изрази АB = x+z BC=y+x и АC= z+y ( J център на вписаната окръжност разделяща страните AB, AC и CB)
По Питагорова :
( x+z )^2= ( y+x )^2+( z+y )^2 ( x=3-y и z = 4-y ) ==> y=1 , x=2 и z =3
Нека к(J,r=1) допряна към AB в точка P разделяща АB = AP+PB = 3+2
Разгл. JPO - (т О е център на описаната)
по Питагорова
JP^2 + PO^2= OJ^2 (OP= R/2 - z = 2,5 -2 = 0,5)
1^2+0,5^2 = OJ^2
OJ = √5 / 2