Вписан остроъгълен равнобедрен триъгълник.

[david99]

В окръжност е вписан остроъгълен равнобедрен триъгълник. Да се намери лицето му, ако разстоянията от центъра на окръжността до бедрото и до основата му са съответно 15см и 7см.

P.S: Задачата я постнах и в отворената тема за домашни, но си направих профил и я поствам и тук. Извинявам се, ако е проблем.

[david99]

Ето ми го чертежа.

Untitled2.jpg (68.87 KiB) Прегледано 973 пъти

[Knowledge Greedy]

Означаваме страните на триъгълника със [tex]c, a[/tex] и [tex]a[/tex]; радиуса на описаната окръжност с [tex]R[/tex] и [tex]\angle ACD = \gamma[/tex]
Три зависимости ще решат твоя въпрос.

Лицето на равнобедрения триъгълник.PNG (30.88 KiB) Прегледано 964 пъти

Питагорова теорема за правоъгълния [tex]\Delta BOD[/tex] (синия).

Питагорова теорема за правоъгълния [tex]\Delta OBE[/tex].

Изразяване синуса на ъгъла [tex]\gamma[/tex] по два начина - от правоъгълния [tex]\Delta OCF[/tex] (жълтия) и от правоъгълния [tex]\Delta ADC[/tex].
(Ако имаш предпочитания към работата с подобни триъгълници - моля, направи го с тях).

Решаваме получената система и получаваме всички данни за намиране на лицето.
Най-кратко изглежда е така:
[tex]S=S_{\Delta ABO}+S_{\Delta BCO}+S_{\Delta CAO}[/tex]

[tex]S=\frac{7c}{2}+\frac{15a}{2}+\frac{15a}{2}[/tex] ...

[david99]

от [tex]\Delta BOD[/tex] [tex]R^{2}=49+\frac{c^{2}}{4}[/tex]
от [tex]\Delta OBE[/tex] [tex]R^{2}=225+\frac{a^{2}}{4}[/tex]

от [tex]\Delta OCF[/tex] [tex]sin \gamma = \frac{15}{R}[/tex]
от [tex]\Delta ADC[/tex] [tex]sin \gamma = \frac{c}{2a}[/tex]

След това?

[Knowledge Greedy]

Приравняваме първите две

[tex]49+\frac{c^2}{4}=225+\frac{a^2}{4}[/tex]

Приравняваме вторите две

[tex]\frac{c}{2a}=\frac{15}{R}[/tex] [tex]\Rightarrow \,\ R=\frac{30a}{c}[/tex]
и получения радиус заместваме в най-първото - в твоето писане.

Така имаме вече системата
[tex]\begin{array}{|l} \left ( \frac{30a}{c} \right )^2=49+\frac{c^2}{4} \\ 49+\frac{c^2}{4}=225+\frac{a^2}{4} \end{array}[/tex]

От второто и уравнение изразяваме [tex]a^2[/tex] и заместваме в първото и уравнение, където остава само [tex]c^2[/tex].

След това полагаме в полученото първо уравнение [tex]\frac{c^2}{4}=u[/tex] и се получава квадратно уравнение за [tex]u[/tex].
Има малко писане

[Knowledge Greedy]

От второто и уравнение изразяваме
[tex]a^2=c^2-704[/tex]

Заместваме в
[tex]\frac{c^2}{4}+49=\frac{900a^2}{c^2}[/tex]

[tex]\frac{c^2}{4}+49=\frac{900c^2-900.704}{c^2}[/tex]

Полагаме [tex]\frac{c^2}{4}=u[/tex]

[tex]u+49=900-\frac{900.176}{u}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \,\ u^2-851u+900.176=0[/tex]

[tex]D=301^2[/tex]

[tex]u_1=576 \,\ \Rightarrow \,\ c=48 \,\ \Rightarrow \,\ a=40[/tex]

[tex]u_2=275 \,\ \Rightarrow \,\ c=10\sqrt{11}\,\ \Rightarrow \,\ a=6\sqrt{11}[/tex]