Най-малкият ъгъл на триъгълник

[voikovstef1]

Най-малкият ъгъл на триъгълник ABC, където височината и медианата през върха A разделят [tex]\angle[/tex]BAC на три равни части, има големина в градуси?
Отговор: [tex]30^\circ[/tex] . Трябва ми решението.

[Nathi123]

Нека АН е перпендикулярна на ВС и СМ=МВ=[tex]\frac{a}{2}[/tex],[tex]\angle CAH=\angle HCM=\angle MAB=x[/tex]. [tex]\Delta ACH\cong\Delta AHM[/tex]. Тогава CH=HM=[tex]\frac{a}{4}[/tex]. [tex]\angle ABC = 90^\circ - 2x[/tex] ( от [tex]\Delta AHB[/tex]) Построяваме ММ[tex]_{1 }\bot AB[/tex]. От еднаквостта на [tex]\Delta AHM[/tex] и [tex]\Delta AMM_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] HM = MM[tex]_{1 }=\frac{a}{4}[/tex] .Тогава в правоъгълния триъгълник ММ[tex]_{1 }B[/tex] ,катета срещу [tex]\angle M_{1 }BM[/tex] = 90 - 2x е [tex]\frac{a}{4}[/tex],а хипотенузата e [tex]\frac{a}{2}[/tex][tex]\Rightarrow \angle M_{1 }BM = 30^\circ[/tex] и това е най - малкият ъгъл в триъгълника. На колко са равни другите два ъгъла?

[voikovstef1]

Триъгълник AHB е правоъгълен и [tex]\angle[/tex]HAB=60[tex]^\circ[/tex] . [tex]\angle[/tex]HAB=2x , 2x=60[tex]^\circ[/tex], 3x=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BAC=90[tex]^\circ[/tex] и [tex]\angle[/tex]ACB=60[tex]^\circ[/tex] .