Равнобедрен триъгълник с основа 10 и бедро 14

[voikovstef1]

Даден е равнобедрен триъгълник с основа 10cm и бедро 13cm. Да се намери разстоянието между ортоцентъра на триъгълника и центъра на вписаната в него окръжност.
Отговор: [tex]\frac{5}{4}[/tex]cm

[ptj]

Като спуснеш височината към основата се получава триъгълник със страни 13,12,5.
Двата центъра лежат на същата височина, ъглополовяща и медиана.
За да намериш в какво отношение я дели ъглоповящата полваш съответното свойство ( отношението на страните).
За ортоцентъра - може да намериш дължините на височините от лицето, а после през Питагорова теорема разстоянията от пета до връх. После през петата на една от височините построяваш успоредна права на коя да е от другите височини. Прехвърляш чрез теорема на Талес съотношениата върху една страна, а като се върнеш назад намираш в какво отношение ортоцентъра дели височината.

П. П. Възможно е да има и готова формула...

[KOPMOPAH]

Триъгълник-3-.png (17.5 KiB) Прегледано 2611 пъти

На чертежа [tex]H[/tex] е ортоцентърът, [tex]O[/tex] е центърът на вписаната окръжност, [tex]A_{1 }[/tex] е петата на височината към бедрото [tex]BC[/tex]
Триъгълниците [tex]ADH[/tex] и [tex]ADC[/tex] са подобни, откъдето [tex]\frac{HD}{AD}=\frac{AD}{CD}\Rightarrow HD=\frac{AD.AD}{CD}=\frac{5.5}{12}=2\frac{1}{12}cm[/tex]
Дължината на радиуса на вписаната окръжност [tex]r[/tex] (отбелязан на чертежа с [tex]OD[/tex]) може да бъде намерена по формулата за лице [tex]S=p.r \Rightarrow r=\frac{S}{p}[/tex], лицето е [tex]60 cm^{2}[/tex], полупериметърът - [tex]18 cm[/tex], следователно [tex]r=3\frac{1}{3}cm[/tex]
Oкончателно за търсеното разстояние [tex]OH[/tex] се получава [tex]OH=3\frac{1}{3}-2\frac{1}{12}=\frac{5}{4} cm[/tex]