Триъгълник с вписана полуокръжност

[nh3mp3]

В триъгълник със страни a=27; b=29; c=52; е вписана полуокръжност, така че центърът и лежи на c. Да се намерят частите, на които центърът разделя c и радиуса на полуокръжността.
Благодаря предварително!

[Knowledge Greedy]

Вписана полуокръжност.png (6.52 KiB) Прегледано 565 пъти

Тъй като въпросната полуокръжност се допира до страните с дължини [tex]a=27[/tex] и [tex]b=29[/tex], то центърът ѝ - точка [tex]N[/tex] е пета на ъглополовящата през върха [tex]C[/tex]. Следователно [tex]AN:BN=29:27[/tex]
Самата [tex]c=29x+27x=52 \,\ \Rightarrow \,\ x=\frac{13}{14}[/tex]
Следователно двете части са
[tex]AN=29.\frac{13}{14}=26\frac{13}{14}[/tex]
и
[tex]BN=27.\frac{13}{14}=25\frac{1}{14}[/tex]
За намиране на радиуса може да се възползваме от две формули за лице на триъгълник.
[tex]S_{ABC}=\frac{ar+br}{2}=\sqrt{54.2.27.25}[/tex] - втората от които е хероновата.
Така
[tex]r=\frac{\sqrt{2.27.2.27.25}}{28}=\frac{2.27.5}{28}=\frac{135}{14}[/tex]
__________
На чертежа има излишни означения, т.к. беше замислено друго решение на втората част (по-дълго и с тригонометрия)