Лице на правоъгълен триъгълник по височина и ъглополовяща

[Davids]

Имам даден правоъгълен триъгълник ABC ([tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex]), в който са ми дадени само височината към хипотенузата 3 см и ъглополовяща към хипотенузата 4 см. Търсим лицето
През много идеи минах, но доникъде не ме доведоха. Затова се обръщам към вас..
P.S.: Материал от девети клас, моля, без тригонометрия!

[pal702004]

Не знам дали е известна в 9-ти клас формулата за лице на тр-к по две страни и ъгъл м/у тях и колко е синус от 45 градуса...
Обозначаваме катетите с $a,b$, височината $h=3$, ъглополовящата $l=4$

$S=\frac 1 2 \cdot a\cdot l \cdot \sin(45)+\frac 1 2 \cdot b\cdot l \cdot \sin(45)=\frac 1 2 \cdot l \cdot \sin(45)(a+b)=\sqrt 2(a+b)$

$S^2=2(a^2+b^2+2ab)=2(c^2+4S)$

$c\cdot h=2S \Rightarrow c^2=\frac{4S^2}{h^2}=\frac{4S^2}{9}$

$S^2=2\left(\frac{4S^2}{9}+4S\right)$

$S=8\left(\frac S 9+1\right)$

$S=72 \;cm^2$

ако не съм сгрешил нещо у сметките...

[monika_at]

Пал, без тригонометрия. Тази формула за лице се учи в 10 клас

[pal702004]

А таблицата за умножение в 11-ти
Жалко

[monika_at]

Да построим [tex]LP \bot AC; LQ \bot BC=>S_{ABC}=S_{ALC}+S_{BLC}=\frac{PL.b}{2}+\frac{QL.a}{2}=PL\frac{a+b}{2}[/tex]

[tex]\Delta LPC[/tex]-равнобедрен и правоъгълен. Означаваме [tex]PL=PC=x=>x^2+x^2=l^2=>x=\frac{l\sqrt{2}}{2}[/tex]

=>[tex]S=\frac{l\sqrt{2}}{4}(a+b)[/tex]

[Davids]

Благодаря за обяснението! Имам само един въпрос - означава ли това, че до реална числова стойност без параметри в нея (предвид даденото в задачата) не може да се достигне?

[tex]S=\frac{l\sqrt{2}}{4}(a+b)[/tex]

Защото до такива изрази стигах и аз, въпросът е, че се търси лице, а преди това трябва да знаем поне сбора на a+b... Или?

[monika_at]

Не е необходимо да знаеш сбора на катетите.

[Davids]

Не е необходимо да знаеш сбора на катетите.

Даааа, да. Видях какво е направил човекът горе, бях се изгубил в тригонометрията и не погледнах надолу, а тя не била основна част от решението. Благодаря ви!