Точка на Торичели

[elenkov]

Нека M e вътрешна за триъгълник ABC, чиито ъгли са под 120 градуса. Да се докаже, че сумата MA+MB+MC e най-малка, когато M е точката, от която страните на триъгълника се виждат под 120 градуса (точка на Торичели)?

[monika_at]

toricheli.png (27.5 KiB) Прегледано 695 пъти

Нека Р е вътрешна точка за [tex]\Delta ABC[/tex]. Построяваме [tex]\Delta AP_1B_1[/tex]-образ на [tex]\Delta APCP_1B_![/tex] при ротация с център А и ъгъл на въртене [tex]+60^\circ[/tex]=>

[tex]PB+PA+PC=PB+PP_1+P_1B_1[/tex] (чертеж1). Тази сума ще е минимална, когато точките [tex]B,P,P_1,B_1[/tex] лежат на една права. Тогава всички страни ще се виждат от т.Р под ъгъл [tex]120^\circ[/tex] (чертеж 2)

[Knowledge Greedy]

Ах тази monika_at! Отново ме изпревари
Ето все пак и моя чертеж - за сравнение как общата сума [tex]AP+BP+CP = PP_1+BP+C_1P[/tex] при произволна точка [tex]P[/tex], се различава от минималната сума [tex]AT+BT+CT = T_1T+BT+C_1T_1=BC_1[/tex] за точката на Торичели.

Щайнер - Вивиани - Торичели.png (6.82 KiB) Прегледано 694 пъти

Първото е начупената линия [tex]BPP_1C_1[/tex], а второто е отсечката [tex]BC_1[/tex] - и двете с общо начало и край.
И още един малък чертеж за детайлите при завъртането на [tex]60^\circ[/tex].

Щайнер - Вивиани - Торичели2.png (6.73 KiB) Прегледано 694 пъти

Условието най-големият ъгъл на триъгълника да не е по-голям от [tex]120^\circ[/tex] също е важно, а ако е по-голям от [tex]120^\circ[/tex], става хубава задача за по-малките.