Колко е възможно най-голямата стойност за най-малкия ъгъл

[1089]

За триъгълник е известно че едната от страните е 2 пъти по-голяма от друга. Колко е възможно най-голямата стойност за най-малкия ъгъл в триъгълника?

[martin123456]

нека третата страна е [tex]x[/tex], а другите са [tex]a[/tex] и [tex]2a[/tex]. от неравенството на триъгълника намираме [tex]x \in (a,2a)[/tex]=> най малък е ъгълът срещу [tex]a[/tex].
разглеждаме триъгълник ABC, че [tex]AC \bot CB[/tex], [tex]AB=2a[/tex], [tex]AC=a[/tex] и нека разгледаме окръжност [tex]k=(A,a)[/tex]. фиксираме [tex]AB[/tex]. тогава всички точки [tex]C'[/tex], които удовлетворяват задачата лежат на [tex]k[/tex]. ясно че [tex]BC[/tex] е допирателна към окръжността. ако допуснем че [tex]\angle C'BA > \angle CBA[/tex] за някое [tex]C'[/tex] по окръжността се вижда че това не е възможно понеже [tex]BC[/tex] е допирателна. следователно [tex]30^\circ[/tex]

[1089]

[tex]x\in (a;3a)[/tex]?

[1089]

Вярно ли е обобщението: за всеки триъгълник, в който едната от страните е к пъти по голяма от друга (к>2), то за най-малкия ъгъл е изпълнено [tex]\alpha \le arcsin(\frac{1}{k })[/tex]

[martin123456]

ами аз мислех че трябва със знание 7,8 клас да се реши
с тригонометрия си излиза че е 30 градуса
а иначе, да до 3а е, моя грешка