Страни на трапец.

[the guy]

Здравейте форум ,


Днес нещо ми е смотан ден , и не мога да мисля като хората . Та казуса ми е тази задача .

В окръжност с радиус R = [tex]\sqrt{76/2}[/tex] е вписан трапец с височина 5√3 и диагонал ,чиято дължина е равна на сбора на двете основи . Намерете страните на трапеца

[Davids]

При тази стойност на радиуса получавам отрицателна стойност за едната основа... Сигурен ли си, че е така? Защото принципно [tex]\sqrt{\frac{76}{2}} = \sqrt{38}[/tex], и изчисленията стават доста криви след въвеждането на радиуса в играта, та накрая за едната страна се получава [tex]5-\sqrt{39}[/tex], което е малко отрицателно . Проверявах по няколко начина, но пак същото. Та затова питам, може и аз да бъркам

[the guy]

Лелелееле , съжалявам много ,днеска съм супер отнесен ..направо от вихъра . 76/3 е .

[Davids]

trapec_vpisan_strani_radius_visochina.png (60.21 KiB) Прегледано 1816 пъти

Постарал съм се всичко да е максимално пригледно на чертежа.
Първо знаем, че трапецът е равнобедрен (вписан в окръжност). И веднага трябва да се сетим, че при дадено [tex]d = a+b[/tex] веднага трябва да построим успоредната на другия диагонал права през [tex]D[/tex] и да пресечем с нея [tex]AB[/tex] (в случая в точка [tex]K[/tex]). Така ще получим [tex]KB = a + b = d[/tex] и същевременно [tex]KD = AC = BD = d[/tex], следователно триъгълникът е равностранен и оттам следва, че [tex]\angle ABD = 60^{\circ}[/tex]. Тогава за [tex]\angle HDB = 30^{\circ}[/tex] и веднага виждаме, че [tex]HB = \frac{a+b}{2} \Rightarrow AH = \frac{a-b}{2}[/tex].

Сега включваме тригонометрията за същия триъгълник [tex]\Delta HBD[/tex]:
[tex]\frac{h}{d} = \frac{5\sqrt{3}}{a+b} = sin60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \sqrt{3}(a+b) = 10\sqrt{3} \Rightarrow a+b = 10[/tex]
Така имаме първото равенство за страните.

Сега ще включим радиуса, като построим двата радиуса към [tex]A[/tex] и [tex]D[/tex], с което ще получим равнобедрен [tex]\Delta AOD[/tex], за който веднага предлагаме косинусва теорема, за да си намерим бедрото:
[tex]c^2 = R^2 + R^2 - 2R^2.cos120^{\circ} = ... = 3R^2[/tex]
[tex]\Rightarrow c = \sqrt{76}[/tex]

След това използваме питагорова теорема за [tex]\Delta AHD[/tex]:
[tex]c^2 = h^2 + (\frac{a-b}{2})^2[/tex]
[tex]76 = 75 + (\frac{a-b}{2})^2[/tex]
[tex]\frac{(a-b)^2}{4} = 1[/tex]
[tex]\Rightarrow a-b = 2[/tex]

Имаме второ равенство. Остава лесната система:
[tex]\begin{array}{|l} a + b = 10 \\ a - b = 2 \end{array}[/tex]
И лесно се вижда, че [tex]a = 6; b = 4[/tex], а бедрото намерихме [tex]c = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}[/tex]

[the guy]

Много, много благодаря !

[amsara]

И един вариант без тригонометрия, чисто геометрично.

Веднага отбелязваме, че трапецът е равнобедрен.Ще въведа някои стандартни означения, за да е по-лесно надолу.
[tex]AB=a, BC=b, AD=BC=c, AC=BD=a+b, CC_{1}=DD_{1}=h=5\sqrt{3}[/tex]
Избираме точка F такава, че [tex]AF=a+b[/tex]
[tex]=> \Delta AFC[/tex] e равностранен.Лесно се доказва това с равните в трапец диагонали + успоредника BFCD.
[tex]S_{ABC}=\frac{a.h}{2}=\frac{a.5\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]S_{ABC}=\frac{a(a+b).c}{4R}=\frac{a(a+b).c}{4\sqrt{\frac{76}{3}}}[/tex]
Приравняваме дват израза и получаваме:
[tex]20\sqrt{76}=2(a+b).c <=> 10\sqrt{76}=(a+b).c[/tex]
В равностранния AFC [tex]h \equiv m \equiv l => AC_{1}=\frac{a+b}{2}[/tex]
От Питагорова за [tex]AC_{1}C=>( \frac{a+b}{2})^2+(5\sqrt{3})^2=(a+b)^2 => a+b=10[/tex]
[tex]=>10\sqrt{76}=10c, c=2\sqrt{19}[/tex]
Надолу решението е със същата система на Davids.