Задачи от раздел средна отсечка

[wolfie16]

1. Даден е триъгълник АВС с медиани АА1 и ВВ1. Проекциите на АС и ВС върху АВ са съответно 6см и 4см. Да се намерят проекциите на АА1 и ВВ1 върху АВ, ако ъглите ВАС и АВС са остри.
Отговор: 8см, 7см

2. Дадени са триъгълник и права, която не пресича страните му. Да се намери разстоянието от медицентъра на триъгълника до правата, ако разстоянията от върховете му до нея са 5см, 10см и 12см.
Отговор: 9см

3. Точка M е средата на страната AB на триъгълник ABC, а N е средата на медианата CM. AN пресича страната BC в точка P. Да се намери каква част от лицето на ABC е лицето на четириъгълника BMNP.
отг. 5/12

Моля за помощ и благодаря предварително.

[Davids]

1. Зад.: Височината от [tex]C[/tex] ще кръстим [tex]CH[/tex] и тя реално ще разделя AB на двете проекции [tex]AH = 4[/tex] и [tex]HB = 6[/tex]cm.
Построяваме въпросните проекции на медианите като пуснем височините от тях - [tex]B_1B_2[/tex] и [tex]A_1A_2[/tex]. Сега само трябва да кажем, че те се явяват средни отсечки съответно в [tex]\Delta AHC[/tex] и [tex]BHC[/tex], понеже са също перпендикулярни на AB (т.е. на успоредни на CH). Но те също и започват от средите съответно на [tex]AC[/tex] и [tex]BC[/tex], следователно са средни отсечки в триъгълниците. Това ще рече, че [tex]B_2[/tex] разполовява [tex]AH[/tex] и [tex]A_2[/tex] разполовява [tex]BH[/tex]. Оттам вече намираш проекцията на [tex]BB_1[/tex], която е [tex]B_2B = B_2H + HB = 2 + 6 = 8cm[/tex]. Аналогично проекцията [tex]AA_2 = AH + HA_2 = 4 + 3 = 7cm[/tex]

2. Зад.: Сега не мога да предоставя чертеж, затова ще го карам описателно, а ти може да го построиш по моите описания и да видиш как стоят нещата.
Първо построяваме триъгълника със стандартни означения. Медианата [tex]CM[/tex] ще бъде разделена на три равни части - от медицентъра в точка [tex]G[/tex] и още една точка [tex]P[/tex] вътрешна за отсечката [tex]GC[/tex]. Сега построяваме правата [tex]t[/tex] отстрани така, че [tex]BB_1 = 5; CC_1 = 10; AA_1 = 12cm[/tex], това са разстоянията. Това беше по началния чертеж, сега почваме да решаваме.
Построяваме [tex]MM_1[/tex] също перпендикулярна на [tex]t[/tex]. Виждаме, че [tex]MM_1[/tex] всъщност е средна отсечка в правоъгълния трапец [tex]AA_1B_1B[/tex]. Следователно [tex]MM_1 = \frac{AA_1 + BB_1}{2} = \frac{17}{2}[/tex].
Сега ще означим търсеното разстояние [tex]GG_1[/tex] (от медицентъра до правата [tex]t[/tex]) с [tex]x[/tex], а съответно [tex]PP_1 \bot t[/tex] ще означим с [tex]y[/tex].
От факта, че [tex]y[/tex] е средна отсечка в трапеца [tex]GG_1C_1C[/tex] следва, че [tex]y = \frac{x + CC_1}{2} = \frac{x + 10}{2}[/tex].
А от факта, че [tex]x[/tex] е средна отсечка в трапеца [tex]MM_1P_1P[/tex] следва, че [tex]x = \frac{MM_1 + y}{2} = \frac{\frac{17}{2} + y}{2}[/tex].
Заместваме [tex]y[/tex] в уравнението и получаваме:
[tex]x = \frac{\frac{17}{2} + \frac{x+10}{2}}{2} = \frac{27 + x}{4}[/tex]
[tex]\Rightarrow 4x = 27 + x[/tex]
[tex]3x = 27[/tex]
[tex]x = 9cm[/tex], с което задачата е решена.

3. Зад.: Чертежът можеш да уредиш и сам. Лицето на целия триъгълник е [tex]S[/tex]. Ще ползваме основно свойството, че медианата във всеки триъгълник го разделя на два равнолицеви триъгълника. Оттам автоматично имаме [tex]S_{AMC} = S_{MBC} = \frac{1}{2}S[/tex]. Но AN е медиана в [tex]\Delta AMC[/tex], следователно [tex]S_{AMN} = S_{ANC} = \frac{1}{4}S[/tex].
И така, сега ще построим [tex]MP[/tex] и ще представим лицето на търсения четириъгълник като [tex]S_{MBP} + S_{MNP}[/tex].
Означаваме [tex]S_{NPC} = x[/tex]. Но тъй като [tex]PN[/tex] е медиана в [tex]\Delta MPC[/tex], то [tex]S_{MPN} = S_{NPC} = x[/tex].
Аналогично [tex]PM[/tex] е медиана в [tex]\Delta ABP[/tex], откъдето следва, че [tex]S_{MBP} = S_{AMP} = S_{AMN} + S_{MPN} = \frac{1}{4}S + x[/tex]
Но знаем, че [tex]S_{MBP} + S_{MNP} + S_{NPC} = S_{MBC} = \frac{1}{2}S[/tex], което е еквивалентно на:
[tex]\frac{1}{4}S + x + x + x = \frac{1}{2}S[/tex]
[tex]\Rightarrow 3x = \frac{1}{4}S[/tex]
[tex]\Rightarrow x = \frac{1}{12}S[/tex].
Откъдето вече [tex]S_{BMNP} = S_{BMP} + S_{MNP} = \frac{1}{4}S + 2x = (\frac{1}{4} + \frac{1}{6})S = \frac{5}{12}Scm^2[/tex]