Отношение на страни в равнобедрен триъгълник

[DoctorP]

Да се намери отношението на основата и бедрото на равнобедрен триъгълник, ако отношението между радиусът на вписаната към радиусът на описаната окръжност е равно на k.

[ева]

[tex][/tex][tex]\triangle[/tex]АВС (АС=ВС),АВ=а,АС=b,[tex]К_{1 }[/tex]([tex]О_{1 }[/tex];r) ,[tex]K_{2 }[/tex]([tex]O_{2 }[/tex];R);Нека т.Н,т.М са среди на АВ и АС.;[tex]\frac{r}{R}[/tex]=k //[tex]\frac{a}{b}[/tex]=?
[tex]\triangle[/tex]AH[tex]O_{1 }[/tex]-правоъг. tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{HO_{1 }}{AH}[/tex]; tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\frac{2r}{a}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] r=[tex]\frac{a.tg\frac{\alpha}{2}}{2}[/tex] (1)
[tex]\triangle[/tex]M[tex]O_{2 }[/tex]C-правоъг.cos(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])=[tex]\frac{CM}{CO_{2 }}[/tex] ; sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{b}{2R}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] R=[tex]\frac{b}{2sin\alpha}[/tex] (2) [делим (1) на (2)]
[tex]\frac{r}{R}[/tex]=[tex]\frac{\frac{a.tg\frac{\alpha}{2}}{2}}{\frac{b}{2sin\alpha}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]k=[tex]\frac{a.sin\frac{\alpha}{2}2sin\alpha}{2cos\frac{\alpha}{2}.b}[/tex] тогава

[tex]\frac{a}{b}[/tex]=[tex]\frac{k.cos\frac{\alpha}{2}}{sin\frac{\alpha}{2}.2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}[/tex]=[tex]\frac{k}{2sin^{2}(\frac{\alpha}{2})}[/tex]=[tex]\frac{k}{2.\frac{1-cos\alpha}{2}}[/tex]=[tex]\frac{k}{1-\frac{a}{2b}}[/tex]=[tex]\frac{2bk}{2b-a}[/tex] получихме [tex]\frac{a}{b}[/tex]=[tex]\frac{2bk}{2b-a}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a^{2}[/tex]-2ba+2k[tex]b^{2}[/tex]=0 /a=?
D=[tex]b^{2}[/tex]-2k[tex]b^{2}[/tex]=[tex]b^{2}[/tex](1-2k) ;[tex]a_{1,2 }[/tex]=b[tex]\pm[/tex]b[tex]\sqrt{1-2k}[/tex]
1сл. Ако тр-ът е остроъгълен,то а<b т.е.a=b(1-[tex]\sqrt{1-2k)}[/tex] накрая [tex]\frac{a}{b}[/tex]=[tex]\frac{b(1-\sqrt{1-2k})}{b}[/tex]=[tex]\frac{1-\sqrt{1-2k}}{1}[/tex]
2 сл.Ако тр-ът е тъпоъгълен,то а>b т.е.a=b(1+[tex]\sqrt{1-2k}[/tex]) накрая [tex]\frac{a}{b}[/tex]=[tex]\frac{b(1+\sqrt{1-2k})}{b}[/tex]=[tex]\frac{1+\sqrt{1-2k}}{1}[/tex]
отг.1-[tex]\sqrt{1-2к}[/tex] ; 1+[tex]\sqrt{1-2к}[/tex]