Равнобедрен триъгълник 10 клас

[scola]

Моля за помощ!
Даден е равнобедрен триъгълник с ъгъл между бедрата 30°, ъглополовяща към бедрото равна на 5 см.Да се намерят бедрата и основата на триъгълника.

[ptj]

От синусова теорема намираш бедрото...

[scola]

Ако е възможно да ми покажете, защото нещо не мога да се справя сам.Благодаря предварително!

[Knowledge Greedy]

При добро знание формулите на кръговата тригонометрия, решението не е дълго. Ще използваме съкращението [tex]75^\circ =\alpha[/tex], респективно [tex]\frac{\alpha}{2}=37^\circ30'[/tex]
Понеже [tex]sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-cos\alpha}{2} =\frac{1-cos75^\circ}{2}=\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{4}[/tex], то [tex]sin37^\circ30'=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}-\sqrt{3}}}{2}[/tex]
Аналогично
- от [tex]cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos\alpha}{2} =\frac{1+cos75^\circ}{2}=\frac{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4}[/tex], следва [tex]cos37^\circ30'=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{2}[/tex]
Ще ни е необходим още и [tex]cotg75^\circ[/tex]
За целта ползваме [tex]cotg\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{sin2\alpha}[/tex]
Следователно [tex]cotg75^\circ=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2.\frac{1}{2}}=2-\sqrt{3}[/tex]
Означенията върху чертежа ще ни отнемат повече време от самото решение.

Определения или синусова теорема.png (5.79 KiB) Прегледано 425 пъти

Да се възползваме възможно най-много от свойството на ъглополовящата [tex]AL[/tex] - разстоянията [tex]LK[/tex] и [tex]LD[/tex] (съответно до бедрото [tex]AC[/tex] и основата [tex]AB[/tex]) са равни. Означаваме всяко от тях с [tex]x[/tex].
В правоъгълния [tex]\Delta KLC[/tex] с ъгъл [tex]30^\circ[/tex] хипотенузата [tex]CL=2x[/tex], вторият катет [tex]CK=x\sqrt{3}[/tex]
В правоъгълния [tex]\Delta ALK[/tex] катетът [tex]AK=5cos\frac{\alpha}{2}[/tex], и тъй като [tex]\frac{x}{5}=sin\frac{\alpha}{2}[/tex], при [tex]\alpha =75^\circ[/tex] - решението може да започне сега.
Явно бедрата [tex]AC=BC=x\sqrt{3}+5cos\frac{\alpha}{2}[/tex] и тъй като [tex]x=5sin\frac{\alpha}{2}[/tex],
то [tex]AC=BC=\frac{5}{2}\left (\sqrt{3}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}-\sqrt{3}}}{2} +\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}}{2} \right )[/tex]

Тъй като ъглите при основата [tex]\angle ABC=\angle BAC = 75^\circ[/tex], явно основата [tex]AB=AD+DB=5cos\frac{\alpha}{2}+xcotg\alpha[/tex], т.е.
[tex]AB=AD+DB=5cos\frac{\alpha}{2}+5\sqrt{3}cotg\alpha[/tex]
Така основата [tex]AB=\frac{5}{2} \left (\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}} +2\sqrt{3}(2-\sqrt{3}) \right )=\frac{5}{2}\left (\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}} +4\sqrt{3}-6 \right )[/tex]