През върха А на триъгълник и центъра на описаната окръжност

[shener.hadjimehmed]

1. През върха А на равнобедрен триъгълник и центъра на описаната му окръжност е построена права, пресичаща страна ВС в точка К. Ако АС=ВС=b и [tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\alpha[/tex] , то отсечката АК е равна на ?
2. В триъгълник сборът от ъглите при върховете А и В е 60[tex]^\circ[/tex] , а радиусът на описаната около триъгълника окръжност е 12. Разстоянието от ортоцентъра Н до върха С е равно на ?

[ева]

зад.1
Нека правата АК пресича окр. в т.Т;СК=у;СТ=z;АК=х=?
[tex]\triangle[/tex]АВК е подобен на [tex]\triangle[/tex]КТС (1 пр.)
[tex]\frac{АВ}{СТ}[/tex]=[tex]\frac{АК}{СК}[/tex] но cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{\frac{АВ}{2}}{b}[/tex] т.е.АВ=2b.cos[tex]\alpha[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{2bcos\alpha}{z}[/tex]=[tex]\frac{х}{у}[/tex] (1)
също [tex]\frac{АВ}{СТ}[/tex]=[tex]\frac{ВК}{КТ}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{2bcos\alpha}{z}[/tex]=[tex]\frac{b-у}{2R-х}[/tex] (2)
[tex]\triangle[/tex]АТС-правоъгълен [tex]СТ^{2}[/tex]+[tex]АС^{2}[/tex]=[tex]АТ^{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]z^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]=4[tex]R^{2}[/tex] (3)
в [tex]\triangle[/tex]АТС sin[tex]\angle[/tex]ATC=[tex]\frac{b}{2R}[/tex],но [tex]\angle[/tex]АТС=[tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\alpha[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]
sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{b}{2R}[/tex] (4)
съставяме с-ма от 4 ур-я ,получавам
Х=АК=[tex]\frac{2bsin\alpha}{4sin^{2}\alpha-1}[/tex]
Това ли е отговорът?