Радиусът на вписаната в триъгълника окръжност е 6

[shener.hadjimehmed]

Даден е триъгълник АВС , за който ВС=14[tex]\sqrt{3}[/tex], [tex]\angle[/tex]BAC=60[tex]\circ[/tex] , а радиусът на вписаната в триъгълника окръжност е 6. Да се намери лицето на триъгълника .

[Hephaestus]

Нека използваме чертежа, който съм прикачил.
По условие BC = a = [tex]14\sqrt{3}[/tex], [tex]\angle BAC = 60^\circ[/tex]и [tex]PJ = JM = JN = r = 6[/tex]
Разглеждаме четириъгълник APJM, [tex]\angle PJM = 360 - (90 + 90 + 60) = 120^\circ[/tex]
Тогава от косинусовата теорема за [tex]\Delta PJM[/tex] следва, че [tex]PM = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}[/tex]
Но AP = AM = p - a (разстояние от външна точка към окръжност, p - полупериметър) и [tex]\angle BAC = 60^\circ[/tex], следователно [tex]\Delta PAM[/tex] е равностранен и AP = AM = PM = [tex]6\sqrt{3} = p - a[/tex]
[tex]6\sqrt{3} = p - a \rightarrow p = 6\sqrt{3} + a = 6\sqrt{3} + 14\sqrt{3} = 20\sqrt{3}[/tex]
И тогава лицето е [tex]S = p.r = 6.20\sqrt{3} = 120\sqrt{3} cm^{2}[/tex]

[Nathi123]

От фиг 9 към решението на Hephaestus [tex]\Delta APJ\Rightarrow \frac{AP}{PJ} = cotg30^\circ\Rightarrow AP=6\sqrt{3}; AP=p-a=p-14\sqrt{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow 6\sqrt{3} = p - 14\sqrt{3}\Rightarrow p= 20\sqrt{3}\Rightarrow S_{\Delta ABC } = pr=20\sqrt{3}.6=120\sqrt{3} cm^{2}[/tex].