Средна отсечка в триъгалник

[Zdravko]

От учебника за 8 клас
Точките M и N са съответно среди на страните BC и AC на триъгълник ABC и АМxBN=Q. Ако разтоянието от Q до правата MN е 3 см, намерете дължината на височината CD в сантиметри.

От условието не ми е ясно къде се намира точка D. Също така не мога да я реша.

[S.B.]

Ако проблемът ти е къде се намира т. D - тъй като CD е търсената височина ,би трябвало CD[tex]\bot[/tex]AB и D ще лежи на AB.Но според мен прочети още веднъж много внимателно задачата и виж да не би да си изпуснал нещо при преписването.

[Zdravko]

Преписано е правилно. Но все пак някаква идея как да се реши?

[S.B.]

В [tex]\triangle[/tex]ABC М- среда на BC [tex]\rightarrow[/tex]АМ е медиана; N - среда на AC [tex]\rightarrow[/tex]BN е медиана;
AN X BM = т.Q [tex]\rightarrow[/tex] т.Q е медицентър и [tex]\frac{AQ}{QM}[/tex] = [tex]\frac{BQ}{QN}[/tex]= [tex]\frac{2}{1}[/tex]
MN - средна отсечка [tex]\rightarrow[/tex] MN II AB; Нека правата p минава през т.Q и е перпендикулярна на MN и AB;
p X MN = [tex]Q_{1 }[/tex] и p X AB=[tex]Q_{2 }[/tex]
По условие Q[tex]Q_{1 }[/tex] = 3см
До този момент използвах знанията от 8 клас
[tex]\triangle[/tex]AQ[tex]Q_{2 }[/tex] и [tex]\triangle[/tex]MQ[tex]Q_{1 }[/tex] са подобни и [tex]\frac{QQ_{2 }}{QQ_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{AQ}{QM}[/tex] = [tex]\frac{2}{1}[/tex] следователно [tex]\frac{QQ_{2 }}{3}[/tex] = [tex]\frac{2}{1}[/tex] [tex]\rightarrow[/tex]Q[tex]Q_{2 }[/tex] = 6
Нека CD[tex]\bot[/tex]AB,CD X MN = [tex]D_{1 }[/tex]
[tex]\triangle[/tex]ADC и [tex]\triangle[/tex]N[tex]D_{1 }[/tex]C са подобни, [tex]\frac{CD}{CD_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{AC}{NC}[/tex] = [tex]\frac{2}{1}[/tex] ; височината CD = D[tex]D_{1 }[/tex] + C[tex]D_{1 }[/tex] = 6 + 3 + C[tex]D_{1 }[/tex] = 9 + C[tex]D_{1 }[/tex]
Тогава [tex]\frac{9+CD_{1 }}{CD_{1 }}[/tex] = [tex]\frac{2}{1}[/tex] от където C[tex]D_{1 }[/tex] = 9
Окончателно CD=18 см
Отново отбелязвам,че задачата (според мен!) не може да се реши със знанията от 8 клас

[S.B.]

Ако не греша подобни триъгълници се изучават в 9 клас.

[S.B.]

Подобието на [tex]\triangle[/tex]ADC и [tex]\triangle[/tex]NC[tex]D_{1 }[/tex] може да се спести тъй като [tex]D_{1 }[/tex] лежи на средната отсечка и направо C[tex]D_{1 }[/tex] = D[tex]D_{1 }[/tex] = 9 И CD=18,но за другите два триъгълника - не знам.Може би някой колега от форума има идея?

[ева]

Нека т.Qе медиц.в [tex]\triangle[/tex]АВС;т.[tex]Р_1[/tex]е среда на AQ[tex]\Rightarrow[/tex]A[tex]P_1[/tex]=[tex]P_1[/tex]Q=QM
През т.[tex]Р_1[/tex]построяваме отс. [tex]Р_2[/tex]Н[tex]\bot[/tex]АВ,като т.Н-лежи на АВ,т.[tex]Р_2[/tex]лежи на MN.
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex][tex]Р_1[/tex]М[tex]Р_2[/tex]; Q[tex]Q_1[/tex]е средна отс. в него[tex]\Rightarrow[/tex]Q[tex]Q_1[/tex]=[tex]\frac{P1P2}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]P_1[/tex][tex]P_2[/tex]=2.3=6см. (1)
Построяваме А[tex]А_1[/tex][tex]\bot[/tex]MN,като т.[tex]А_1[/tex]лежи на правата MN.
Разглеждаме правоъг.трапец AQ[tex]Q_1[/tex][tex]A_1[/tex] в него [tex]Р_1[/tex][tex]Р_2[/tex] е средна отс.[tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]Р_1[/tex][tex]Р_2[/tex]=[tex]\frac{АА1+QQ1}{2}[/tex] от (1)[tex]\Rightarrow[/tex]6=[tex]\frac{АА1+3}{2}[/tex][tex]\Rightarrow[/tex]А[tex]А_1[/tex]=9 см. (2)
Построяваме CD[tex]\bot[/tex]АВ,като т.D лежи на АВ.
Нека правата MN пресича CD в т.[tex]С_1[/tex].
CD =С[tex]С_1[/tex]+[tex]С_1[/tex]D=2[tex]C_1[/tex]D (защото т.[tex]С_1[/tex] е среда на CD)=2A[tex]A_1[/tex]=(от (2) )=2.9=18
CD=18 см.

[tex]

Скрит текст: покажи

става само чрез средни отсечки

[/tex]

[S.B.]

Права си!Не се сетих.Да ти е честита точката !

[ева]

Благодаря!Доста трудни са тези зад.,при които трябва да се досетим да построим нещо,което не е зададено в условието.

Скрит текст: покажи

В такива зад. се иска фантазия!

[inveidar]

Ясно е, че лицето на [tex]\triangle MNQ[/tex] е равно на една трета от лицето на [tex]\triangle MNA[/tex], то на половината от лицето на [tex]\triangle MCA[/tex], а то пък на половината от лицето на [tex]\triangle ABC[/tex]. Така получаваме, че лицето на [tex]\triangle MNQ[/tex] е една дванадесета част от лицето на [tex]\triangle ABC[/tex]. Следователно [tex]\frac{MN.3}{2}=\frac{1}{12} .\frac{AB.CD}{2} \Leftrightarrow \frac{MN.3}{2}=\frac{1}{12}.\frac{2MN.CD}{2} \Leftrightarrow CD=18.[/tex]